Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về các số nguyên dương và tỉ lệ thức. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh một biểu thức là hợp số. Các em hãy theo dõi thật kỹ nhé!

Đề bài:

Cho các số nguyên dương \(x,y,z,t\) thỏa mãn: (giả sử các tỉ số đã cho đều có nghĩa)

\[\dfrac{2x+3z}{2y+3t-3} = \dfrac{5x-z}{5y-t+1}\]

Chứng minh rằng \(S=x+y+z+t-1\) là hợp số.

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau mà các em đã học. Tính chất này phát biểu rằng nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{ka+lc}{kb+ld}\) (với \(k,l\) là các số tùy ý sao cho mẫu số khác 0).

Bước 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm mối quan hệ giữa x, y, z, t.

Đặt tỉ số đã cho là \(k\):

\[k = \dfrac{2x+3z}{2y+3t-3} = \dfrac{5x-z}{5y-t+1}\]

Để khử đi biến \(z\) ở tử số, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của tỉ số thứ hai với 3, rồi cộng hai tỉ số lại:

\[k = \dfrac{(2x+3z) + 3(5x-z)}{(2y+3t-3) + 3(5y-t+1)}\]

Thực hiện phép tính ở tử số và mẫu số:

Tử số: \((2x+3z) + (15x – 3z) = (2x+15x) + (3z-3z) = 17x\)

Mẫu số: \((2y+3t-3) + (15y – 3t + 3) = (2y+15y) + (3t-3t) + (-3+3) = 17y\)

Vậy, chúng ta có:

\[k = \dfrac{17x}{17y} = \dfrac{x}{y}\]

Bước 2: Từ tỉ số \(k = x/y\), thiết lập một đẳng thức quan trọng.

Vì \(\dfrac{5x-z}{5y-t+1} = \dfrac{x}{y}\), chúng ta thực hiện phép nhân chéo:

\(y(5x-z) = x(5y-t+1)\)

\(5xy – yz = 5xy – xt + x\)

Rút gọn \(5xy\) ở cả hai vế:

\(-yz = -xt + x\)

Nhân cả hai vế với -1:

\(yz = xt – x\)

\(yz = x(t-1)\) (1)

Lưu ý quan trọng: Vì \(x,y,z,t\) là các số nguyên dương, nên \(x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1, t \ge 1\).

Từ (1), vì \(yz > 0\) (do \(y,z\) là các số nguyên dương), nên \(x(t-1)\) cũng phải lớn hơn 0. Vì \(x > 0\), suy ra \(t-1 > 0\), tức là \(t > 1\). Điều này có nghĩa là \(t-1\) cũng là một số nguyên dương. Do đó, \(t-1 \ge 1\).

Ngoài ra, từ \(yz = x(t-1)\), chúng ta suy ra \(\dfrac{yz}{x} = t-1\). Vì \(t-1\) là số nguyên, nên \(yz\) phải chia hết cho \(x\).

Bước 3: Biến đổi biểu thức \(S\) và chứng minh \(S\) là hợp số.

Chúng ta cần chứng minh \(S = x+y+z+t-1\) là hợp số.

Từ đẳng thức (1), chúng ta có \(t-1 = \dfrac{yz}{x}\).

Thay \((t-1)\) vào biểu thức của \(S\):

\(S = x+y+z+\dfrac{yz}{x}\)

Quy đồng mẫu số chung là \(x\):

\(S = \dfrac{x^2 + xy + xz + yz}{x}\)

Phân tích tử số thành nhân tử (đặt nhân tử chung):

\(x^2 + xy + xz + yz = x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z)\)

Vậy, biểu thức \(S\) trở thành:

\[S = \dfrac{(x+y)(x+z)}{x}\]

Bây giờ chúng ta cần chứng minh \(S\) là hợp số. Một hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước số (tức là có thể phân tích thành tích của hai số nguyên lớn hơn 1).

Ta đã biết \(x, y, z\) là các số nguyên dương. Do đó:

• \(x+y \ge 1+1 = 2\)
• \(x+z \ge 1+1 = 2\)

Vì \(t>1\), nên \(t-1 \ge 1\). Do đó:

\(S = x+y+z+t-1 \ge 1+1+1+1 = 4\). Vậy \(S\) là một số nguyên lớn hơn 1.

Để \(S\) là hợp số, chúng ta cần tìm hai thừa số nguyên của \(S\), mỗi thừa số đều lớn hơn 1.

Ta có \(S = \dfrac{(x+y)(x+z)}{x}\). Vì \(S\) là một số nguyên, nên \(x\) phải là ước của tích \((x+y)(x+z)\).

Để tìm các thừa số nguyên, ta sẽ sử dụng khái niệm ước chung lớn nhất (UCLN – gcd).

Gọi \(d = \text{gcd}(x, x+y)\). Chúng ta biết rằng \(d\) cũng là ước của \((x+y)-x = y\). Vậy \(d = \text{gcd}(x,y)\).

Ta có thể viết \(x\) và \(x+y\) dưới dạng:

• \(x = d \cdot X’\)
• \(x+y = d \cdot Y’\)

trong đó \(X’, Y’\) là các số nguyên và \(\text{gcd}(X’, Y’) = 1\).

Thay các biểu thức này vào công thức của \(S\):

\[S = \dfrac{(x+y)(x+z)}{x} = \dfrac{d \cdot Y’ \cdot (x+z)}{d \cdot X’} = \dfrac{Y’ \cdot (x+z)}{X’}\]

Vì \(S\) là một số nguyên và \(\text{gcd}(X’, Y’) = 1\) (do \(\text{gcd}(X’, Y’) = \text{gcd}(x/d, (x+y)/d) = 1\)), nên \(X’\) phải là ước của \((x+z)\).
Điều này cho phép chúng ta viết \(S\) thành tích của hai thừa số nguyên:

• Thừa số thứ nhất (F1): \(F1 = Y’ = \dfrac{x+y}{d} = \dfrac{x+y}{\text{gcd}(x,y)}\)
• Thừa số thứ hai (F2): \(F2 = \dfrac{x+z}{X’} = \dfrac{x+z}{x/\text{gcd}(x,y)} = \dfrac{(x+z) \cdot \text{gcd}(x,y)}{x}\)

Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng cả F1 và F2 đều là các số nguyên lớn hơn 1.

Với F1:

\(F1 = \dfrac{x+y}{\text{gcd}(x,y)}\)

Vì \(x,y\) là số nguyên dương, nên \(y \ge 1\). Do đó \(x+y > x\).
Vì \(\text{gcd}(x,y)\) là ước của \(x\), nên \(\text{gcd}(x,y) \le x\).
Vậy \(F1 = \dfrac{x+y}{\text{gcd}(x,y)} \ge \dfrac{x+y}{x} > 1\).
Do đó F1 là một số nguyên lớn hơn 1.

Với F2:

\(F2 = \dfrac{(x+z) \cdot \text{gcd}(x,y)}{x}\)

Vì \(x,z\) là số nguyên dương, nên \(z \ge 1\). Do đó \(x+z > x\).
Vì \(\text{gcd}(x,y)\) là một số nguyên dương, nên \(\text{gcd}(x,y) \ge 1\).
Vậy \(F2 = \left(\dfrac{x+z}{x}\right) \cdot \text{gcd}(x,y) \ge \left(\dfrac{x+z}{x}\right) \cdot 1 > 1\).
Do đó F2 là một số nguyên lớn hơn 1.

Vì \(S\) có thể được viết thành tích của hai số nguyên \(F1\) và \(F2\), mà cả \(F1\) và \(F2\) đều lớn hơn 1, nên \(S\) là một hợp số.

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được rằng \(S=x+y+z+t-1\) có thể phân tích thành tích của hai thừa số nguyên lớn hơn 1 là \(F1 = \dfrac{x+y}{\text{gcd}(x,y)}\) và \(F2 = \dfrac{(x+z) \cdot \text{gcd}(x,y)}{x}\). Do đó, \(S\) là một hợp số.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này! Chúc các em học tốt!