Bài toán: Rút gọn biểu thức sau:

B = \(\frac{2√x -9}{x-5√x+6}\) + \(\frac{√x+3}{√x-2}\) – \(\frac{2√x+1}{3-√x}\)

Phân tích bài toán:

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
2. Quy đồng mẫu thức các phân thức.
3. Thực hiện phép cộng, trừ các phân thức.
4. Rút gọn biểu thức cuối cùng.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Để biểu thức có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:

• Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\).
• Các mẫu thức phải khác 0:
• \(x – 5√x + 6 \neq 0\)
• \(√x – 2 \neq 0 \Rightarrow √x \neq 2 \Rightarrow x \neq 4\)
• \(3 – √x \neq 0 \Rightarrow √x \neq 3 \Rightarrow x \neq 9\)

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích mẫu thức đầu tiên: \(x – 5√x + 6\).

Đặt \(y = √x\) (với \(y \ge 0\)). Khi đó, \(x = y^2\). Biểu thức trở thành:

\(y^2 – 5y + 6\)

Ta tìm hai số có tích bằng 6 và tổng bằng -5. Đó là -2 và -3.

\(y^2 – 2y – 3y + 6 = y(y-2) – 3(y-2) = (y-2)(y-3)\)

Thay \(y = √x\) trở lại, ta có:

\((√x – 2)(√x – 3)\)

Vậy, điều kiện \(x – 5√x + 6 \neq 0\) tương đương với \((√x – 2)(√x – 3) \neq 0\), tức là \(√x \neq 2\) và \(√x \neq 3\). Điều này cho ta \(x \neq 4\) và \(x \neq 9\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có điều kiện xác định của biểu thức B là:

\(x \ge 0\) và \(x \neq 4, x \neq 9\)

Bước 2: Quy đồng mẫu thức

Các mẫu thức đã được phân tích thành nhân tử là: \((√x – 2)(√x – 3)\), \(√x – 2\), \(3 – √x\).

Ta nhận thấy \(3 – √x = -(√x – 3)\).

Mẫu thức chung nhỏ nhất là \((√x – 2)(√x – 3)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ quy đồng từng phân thức:

• Phân thức thứ nhất: \(\frac{2√x -9}{x-5√x+6}\) = \(\frac{2√x -9}{(√x – 2)(√x – 3)}\) (Giữ nguyên)
• Phân thức thứ hai: \(\frac{√x+3}{√x-2}\) = \(\frac{(√x+3)(√x-3)}{(√x-2)(√x-3)}\) = \(\frac{x-9}{(√x-2)(√x-3)}\)
• Phân thức thứ ba: \(\frac{2√x+1}{3-√x}\) = \(\frac{2√x+1}{-(√x-3)}\) = \(\frac{-(2√x+1)}{(√x-2)(√x-3)}\) = \(\frac{-2√x-1}{(√x-2)(√x-3)}\)

Vậy, biểu thức B trở thành:

B = \(\frac{2√x -9}{(√x – 2)(√x – 3)}\) + \(\frac{x-9}{(√x-2)(√x-3)}\) + \(\frac{-2√x-1}{(√x-2)(√x-3)}\)

Bước 3: Thực hiện phép cộng, trừ các phân thức

Bây giờ, chúng ta có thể cộng các tử thức lại với nhau vì các mẫu thức đã giống nhau:

B = \(\frac{(2√x – 9) + (x – 9) + (-2√x – 1)}{(√x – 2)(√x – 3)}\)

B = \(\frac{2√x – 9 + x – 9 – 2√x – 1}{(√x – 2)(√x – 3)}\)

Gom các hạng tử đồng dạng ở tử thức:

B = \(\frac{x + (2√x – 2√x) + (-9 – 9 – 1)}{(√x – 2)(√x – 3)}\)

B = \(\frac{x – 19}{(√x – 2)(√x – 3)}\)

Bước 4: Rút gọn biểu thức cuối cùng

Tử thức là \(x – 19\). Mẫu thức là \((√x – 2)(√x – 3)\).

Ta kiểm tra xem có thể rút gọn thêm nữa hay không. Tử thức \(x – 19\) không thể phân tích thành nhân tử có chứa \((√x – 2)\) hoặc \((√x – 3)\).

Do đó, biểu thức B sau khi rút gọn là:

B = \(\frac{x – 19}{(√x – 2)(√x – 3)}\)

Hoặc có thể viết lại mẫu thức như ban đầu:

B = \(\frac{x – 19}{x – 5√x + 6}\)

Kết luận:

Với điều kiện xác định \(x \ge 0, x \neq 4, x \neq 9\), biểu thức B được rút gọn thành \(\frac{x – 19}{x – 5√x + 6}\).

Các em thấy đó, việc phân tích mẫu thức thành nhân tử là chìa khóa để giải quyết bài toán này. Hãy nhớ luôn kiểm tra điều kiện xác định để đảm bảo kết quả của chúng ta là chính xác.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!