Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

\[B = (x – 2y + 3z)^3 – (2x – y – 3z)^3 – (3x – 3y – z)^3\]

Trước hết, chúng ta hãy nhớ lại một hằng đẳng thức quan trọng mà chúng ta đã học:

Hằng đẳng thức: Nếu tổng của ba số hạng \(a, b, c\) bằng 0, tức là \(a + b + c = 0\), thì tổng lập phương của ba số hạng đó sẽ bằng ba lần tích của chúng: \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).

Đây là hằng đẳng thức thường được sử dụng để rút gọn các biểu thức có dạng tổng hoặc hiệu của ba lập phương.

Bây giờ, chúng ta hãy quan sát biểu thức \(B\). Biểu thức này có dạng \(A^3 – B^3 – C^3\). Chúng ta có thể viết lại nó dưới dạng tổng của ba lập phương bằng cách sử dụng dấu âm:

\[B = (x – 2y + 3z)^3 + (-(2x – y – 3z))^3 + (-(3x – 3y – z))^3\]

Để áp dụng hằng đẳng thức trên, chúng ta sẽ đặt các biểu thức trong dấu ngoặc làm \(a, b, c\) và kiểm tra xem tổng của chúng có bằng 0 hay không.

Đặt:

\(a = x – 2y + 3z\)

\(b = -(2x – y – 3z) = -2x + y + 3z\)

\(c = -(3x – 3y – z) = -3x + 3y + z\)

Bây giờ, chúng ta tính tổng \(a + b + c\):

\(a + b + c = (x – 2y + 3z) + (-2x + y + 3z) + (-3x + 3y + z)\)

Chúng ta nhóm các hạng tử tương tự lại:

\(a + b + c = (x – 2x – 3x) + (-2y + y + 3y) + (3z + 3z + z)\)

\(a + b + c = (1 – 2 – 3)x + (-2 + 1 + 3)y + (3 + 3 + 1)z\)

\(a + b + c = -4x + 2y + 7z\)

Chúng ta thấy rằng tổng \(a + b + c = -4x + 2y + 7z\). Tổng này không bằng 0.

Nhận xét:

Thông thường, các bài toán rút gọn biểu thức lập phương ở cấp độ lớp 8 mà yêu cầu sử dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) thì tổng \(a+b+c\) phải bằng 0. Do tổng của ba biểu thức trên không bằng 0, nên hằng đẳng thức này không thể áp dụng trực tiếp để rút gọn biểu thức \(B\) về một dạng đơn giản như \(3abc\).

Việc khai triển trực tiếp ba lập phương \((A-B)^3\), \((C-D)^3\) v.v… rồi cộng trừ các hạng tử sẽ rất phức tạp và không phù hợp với yêu cầu “rút gọn” ở cấp độ này.

Kết luận:

Với biểu thức đúng như đề bài đã cho, và sử dụng các kiến thức hằng đẳng thức cơ bản của lớp 8, thì chúng ta không thể rút gọn biểu thức \(B\) về một dạng đơn giản hơn (ví dụ như tích của ba số hạng) bằng cách áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3=3abc\) khi \(a+b+c=0\).

Rất có thể đề bài có một lỗi chính tả nhỏ. Chẳng hạn, nếu biểu thức cuối cùng là \(-(3x – 3y)^3\) thay vì \(-(3x – 3y – z)^3\), thì tổng \(a+b+c\) sẽ bằng 0 và bài toán sẽ được rút gọn rất đẹp.

Nếu không có lỗi chính tả, thì biểu thức \(B\) không thể được rút gọn thêm bằng các phương pháp thông thường ở cấp độ lớp 8.

Do đó, với đề bài đã cho, biểu thức rút gọn chính là biểu thức ban đầu:

\[B = (x – 2y + 3z)^3 – (2x – y – 3z)^3 – (3x – 3y – z)^3\]

Tuy nhiên, để minh họa cho trường hợp nếu đề bài có một sự điều chỉnh nhỏ (mà thường gặp trong các bài toán dạng này), chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau:

Giả sử đề bài là: \(B’ = (x – 2y + 3z)^3 + (2x – y – 3z)^3 – (3x – 3y)^3\)

Khi đó, chúng ta sẽ đặt:

\(a = x – 2y + 3z\)

\(b = 2x – y – 3z\)

\(c = -(3x – 3y) = -3x + 3y\)

Tính tổng \(a + b + c\):

\(a + b + c = (x – 2y + 3z) + (2x – y – 3z) + (-3x + 3y)\)

\(a + b + c = (1 + 2 – 3)x + (-2 – 1 + 3)y + (3 – 3)z\)

\(a + b + c = 0x + 0y + 0z = 0\)

Vì \(a + b + c = 0\), chúng ta có thể áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).

Khi đó:

\(B’ = 3(x – 2y + 3z)(2x – y – 3z)(-(3x – 3y))\)

\(B’ = -3(3x – 3y)(x – 2y + 3z)(2x – y – 3z)\)

\(B’ = -3 \cdot 3(x – y)(x – 2y + 3z)(2x – y – 3z)\)

\(B’ = -9(x – y)(x – 2y + 3z)(2x – y – 3z)\)

Đây là dạng rút gọn thường gặp trong các bài toán như vậy. Tuy nhiên, một lần nữa, đây là giải pháp cho một đề bài giả định đã được điều chỉnh.

Chúc các em học tốt!