Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.
Thầy/cô thấy các em đã chép đề khá đầy đủ. Nếu có chỗ nào thầy/cô thấy cần điều chỉnh để bài toán có ý nghĩa hơn, thầy/cô sẽ gợi ý nhé. Bây giờ chúng ta cùng bắt đầu giải chi tiết từng bài một!

B1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) \(x^2-4xy-5y^2\)

Phân tích: Đây là một đa thức bậc hai dạng \(ax^2+bxy+cy^2\). Chúng ta có thể tách hạng tử giữa \(-4xy\) thành hai hạng tử sao cho tổng của chúng bằng \(-4xy\) và tích của chúng bằng tích của \(x^2\) và \(-5y^2\) (tức là \(-5x^2y^2\)). Hai hạng tử đó là \(-5xy\) và \(xy\).
Ta có:
\(x^2-4xy-5y^2 = x^2 – 5xy + xy – 5y^2\)

\(= x(x-5y) + y(x-5y)\)
\(= (x-5y)(x+y)\)
Vậy, \(x^2-4xy-5y^2 = (x-5y)(x+y)\).

b) \((x-1)^3-1\)

Phân tích: Đây là dạng hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương: \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ở đây, \(a = (x-1)\) và \(b = 1\).
Ta có:
\((x-1)^3-1 = (x-1)^3 – 1^3\)

\(= ((x-1)-1)((x-1)^2 + (x-1)(1) + 1^2)\)
\(= (x-2)(x^2-2x+1 + x-1 + 1)\)
\(= (x-2)(x^2-x+1)\)
Vậy, \((x-1)^3-1 = (x-2)(x^2-x+1)\).

c) \(x^3-3x^2+3x-2\)

Phân tích: Quan sát đa thức này, ta thấy nó rất gần với hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\). Cụ thể, \((x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1\).
Ta có thể tách \(-2\) thành \(-1-1\):
\(x^3-3x^2+3x-2 = (x^3-3x^2+3x-1) – 1\)

\(= (x-1)^3 – 1\)
Đây chính là biểu thức ở câu b). Chúng ta đã phân tích ở trên rồi.
\(= (x-2)(x^2-x+1)\)
Vậy, \(x^3-3x^2+3x-2 = (x-2)(x^2-x+1)\).

d) \(x^3-3x^2+3x+7\)

Phân tích: Tương tự như câu c), ta thấy đa thức này gần với \((x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1\).
Ta có thể tách \(+7\) thành \(-1+8\):
\(x^3-3x^2+3x+7 = (x^3-3x^2+3x-1) + 8\)

\(= (x-1)^3 + 2^3\)
Đây là dạng hằng đẳng thức tổng của hai lập phương: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Ở đây, \(a = (x-1)\) và \(b = 2\).
\(= ((x-1)+2)((x-1)^2 – (x-1)(2) + 2^2)\)
\(= (x+1)(x^2-2x+1 – 2x+2 + 4)\)
\(= (x+1)(x^2-4x+7)\)
Vậy, \(x^3-3x^2+3x+7 = (x+1)(x^2-4x+7)\).

e) \(2x^3-3x^2+3x-1\)

Phân tích: Với đa thức này, chúng ta có thể thử tìm nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ để tìm nhân tử. Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, nếu \(x=p/q\) là nghiệm thì \(p\) là ước của \(-1\) và \(q\) là ước của \(2\). Các nghiệm có thể là \(\pm 1, \pm 1/2\).
Thử với \(x=1/2\):
\(P(1/2) = 2(1/2)^3 – 3(1/2)^2 + 3(1/2) – 1\)

\(= 2(1/8) – 3(1/4) + 3/2 – 1\)
\(= 1/4 – 3/4 + 6/4 – 4/4\)
\(= (1-3+6-4)/4 = 0/4 = 0\)
Vì \(P(1/2) = 0\), nên \(x=1/2\) là một nghiệm của đa thức. Điều này có nghĩa là \((x-1/2)\) hay \((2x-1)\) là một nhân tử của đa thức.
Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức \(2x^3-3x^2+3x-1\) cho \((2x-1)\).
Sử dụng phương pháp chia đa thức (hoặc Sơ đồ Horner với \(x=1/2\)):
\((2x^3-3x^2+3x-1) \div (2x-1) = x^2-x+1\)
(Cách làm: \(2x^3-3x^2+3x-1 = x^2(2x-1) – 2x^2 + 3x – 1 = x^2(2x-1) – x(2x-1) + 2x – 1 = x^2(2x-1) – x(2x-1) + 1(2x-1) = (2x-1)(x^2-x+1)\)).
Vậy, \(2x^3-3x^2+3x-1 = (2x-1)(x^2-x+1)\).

B2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) \(x^6-y^4\)

Phân tích: Đây là dạng hiệu của hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
Ta có thể viết \(x^6 = (x^3)^2\) và \(y^4 = (y^2)^2\).
Vậy, \(A = x^3\) và \(B = y^2\).
\(x^6-y^4 = (x^3)^2 – (y^2)^2\)

\(= (x^3-y^2)(x^3+y^2)\)
Vậy, \(x^6-y^4 = (x^3-y^2)(x^3+y^2)\).

b) \(x^3-8\)

Phân tích: Đây là dạng hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương: \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Ta có thể viết \(8 = 2^3\).
Vậy, \(a = x\) và \(b = 2\).
\(x^3-8 = x^3 – 2^3\)

\(= (x-2)(x^2+x \cdot 2 + 2^2)\)
\(= (x-2)(x^2+2x+4)\)
Vậy, \(x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)\).

c) \(x^7+1\)

Phân tích: Đây là dạng tổng của hai lũy thừa bậc lẻ: \(a^n+b^n\) với \(n\) là số lẻ thì luôn chia hết cho \((a+b)\). Ở đây \(n=7\), \(a=x\), \(b=1\).
Do đó, \((x+1)\) là một nhân tử của \(x^7+1\).
Ta thực hiện phép chia đa thức \(x^7+1\) cho \((x+1)\) (có thể dùng Sơ đồ Horner hoặc chia trực tiếp):
\(x^7+1 = (x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)\)
Vậy, \(x^7+1 = (x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)\).

d) \(x^{10}-1\)

Phân tích: Đây là dạng hiệu của hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
Ta có thể viết \(x^{10} = (x^5)^2\) và \(1 = 1^2\).
Vậy, \(A = x^5\) và \(B = 1\).
\(x^{10}-1 = (x^5)^2 – 1^2\)

\(= (x^5-1)(x^5+1)\)
Tiếp theo, ta phân tích từng nhân tử:
* Đối với \(x^5-1\): Đây là dạng \(a^n-b^n\), luôn chia hết cho \((a-b)\). Do đó, \((x-1)\) là nhân tử.
\(x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\)
* Đối với \(x^5+1\): Đây là dạng \(a^n+b^n\) với \(n=5\) là số lẻ, nên chia hết cho \((a+b)\). Do đó, \((x+1)\) là nhân tử.
\(x^5+1 = (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\)
Kết hợp lại, ta được:
\(x^{10}-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\)
Ta có thể sắp xếp lại:
\(= (x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\)
\(= (x^2-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\)
Vậy, \(x^{10}-1 = (x^2-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\).

e) \(x^6+216\)

Phân tích: Đây là dạng tổng của hai lập phương: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Ta có thể viết \(x^6 = (x^2)^3\) và \(216 = 6^3\).
Vậy, \(a = x^2\) và \(b = 6\).
\(x^6+216 = (x^2)^3 + 6^3\)

\(= (x^2+6)((x^2)^2 – x^2 \cdot 6 + 6^2)\)
\(= (x^2+6)(x^4-6x^2+36)\)
Vậy, \(x^6+216 = (x^2+6)(x^4-6x^2+36)\).

f) \(27x^3+125x^3\)

Phân tích: Có vẻ như đề bài này có một chút nhầm lẫn. Nếu là \(27x^3+125x^3\), thì chúng ta chỉ cần cộng các hệ số lại:
\(27x^3+125x^3 = (27+125)x^3 = 152x^3\).
Trong trường hợp này, đa thức đã được phân tích thành nhân tử là \(152 \cdot x \cdot x \cdot x\). Đây là một bài toán rất đơn giản và không giống các bài khác trong nhóm này.
Thầy/cô đoán rằng đề bài có thể là \(27x^3+125y^3\). Nếu vậy, bài toán sẽ là tổng của hai lập phương.
Giả sử đề bài là \(27x^3+125y^3\):
Đây là dạng hằng đẳng thức tổng của hai lập phương: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).
Ta có thể viết \(27x^3 = (3x)^3\) và \(125y^3 = (5y)^3\).
Vậy, \(a = 3x\) và \(b = 5y\).
\(27x^3+125y^3 = (3x)^3 + (5y)^3\)

\(= (3x+5y)((3x)^2 – (3x)(5y) + (5y)^2)\)
\(= (3x+5y)(9x^2 – 15xy + 25y^2)\)
Nếu đề bài đúng như em chép là \(27x^3+125x^3\), thì kết quả là \(152x^3\). Nếu là \(27x^3+125y^3\), thì kết quả là \((3x+5y)(9x^2 – 15xy + 25y^2)\). Thầy/cô sẽ trình bày theo hướng thứ hai vì nó hợp lý hơn trong bối cảnh các bài tập này.

g) \(8x^3-y^3-6xy(2x-y)\)

Phân tích: Ta nhận thấy \(8x^3 = (2x)^3\). Biểu thức này có dạng rất giống với hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\).
Hãy thử so sánh với \((2x-y)^3\):
\((2x-y)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(y) + 3(2x)(y)^2 – y^3\)

\(= 8x^3 – 3(4x^2)y + 6xy^2 – y^3\)
\(= 8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3\)
Bây giờ, ta khai triển hạng tử \(-6xy(2x-y)\) trong đề bài:
\(-6xy(2x-y) = -12x^2y + 6xy^2\)
Thay vào biểu thức ban đầu:
\(8x^3-y^3-6xy(2x-y) = 8x^3-y^3 + (-12x^2y + 6xy^2)\)
\(= 8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3\)
Đây chính xác là khai triển của \((2x-y)^3\).
Vậy, \(8x^3-y^3-6xy(2x-y) = (2x-y)^3\).

h) \(9(x-5y)^2-16(x+y)^2\)

Phân tích: Đây là dạng hiệu của hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
Ta có thể viết \(9(x-5y)^2 = [3(x-5y)]^2\) và \(16(x+y)^2 = [4(x+y)]^2\).
Vậy, \(A = 3(x-5y)\) và \(B = 4(x+y)\).
\(9(x-5y)^2-16(x+y)^2 = [3(x-5y)]^2 – [4(x+y)]^2\)

\(= [3(x-5y) – 4(x+y)][3(x-5y) + 4(x+y)]\)
Bây giờ ta khai triển từng ngoặc vuông:
* Ngoặc thứ nhất: \(3x-15y – 4x-4y = -x-19y\)
* Ngoặc thứ hai: \(3x-15y + 4x+4y = 7x-11y\)
Vậy, \(9(x-5y)^2-16(x+y)^2 = (-x-19y)(7x-11y)\)
\(= -(x+19y)(7x-11y)\)
Vậy, \(9(x-5y)^2-16(x+y)^2 = -(x+19y)(7x-11y)\).

i) \((3x+2)^2-2(x-1)(3x+2)+(x-1)^2\)

Phân tích: Đây là dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \(A^2 – 2AB + B^2 = (A-B)^2\).
Ở đây, \(A = (3x+2)\) và \(B = (x-1)\).
\((3x+2)^2-2(x-1)(3x+2)+(x-1)^2 = [(3x+2) – (x-1)]^2\)
Bây giờ ta rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông:
\(3x+2 – (x-1) = 3x+2-x+1 = 2x+3\)
Vậy, \((3x+2)^2-2(x-1)(3x+2)+(x-1)^2 = (2x+3)^2\).

Hy vọng với phần giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích các đa thức trên thành nhân tử. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé! Chúc các em học tốt!