Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và thực hành một kỹ năng rất quan trọng trong môn Đại số lớp 8, đó là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Đây là một nền tảng vững chắc giúp các em giải quyết nhiều bài toán khác như rút gọn biểu thức, giải phương trình, và chứng minh đẳng thức. Chúng ta hãy cùng nhau làm thật chi tiết và cẩn thận nhé!

Trước khi bắt đầu, thầy/cô muốn các em nhớ lại các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học:

• Bình phương của một tổng: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
• Bình phương của một hiệu: \( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)
• Hiệu hai bình phương: \( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) \)
• Lập phương của một tổng: \( (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \)
• Lập phương của một hiệu: \( (A-B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 \)
• Tổng hai lập phương: \( A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2) \)
• Hiệu hai lập phương: \( A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2) \)

Bây giờ chúng ta cùng giải từng bài tập nhé!

Bài 1a): Phân tích đa thức \( x^2+8x+16 \)

Đây là một tam thức có dạng \( A^2+2AB+B^2 \). Chúng ta sẽ cố gắng đưa nó về dạng bình phương của một tổng.

Ta thấy:

• Số hạng thứ nhất là \( x^2 \), vậy \( A=x \).
• Số hạng thứ ba là \( 16 \), mà \( 16=4^2 \), vậy \( B=4 \).
• Số hạng ở giữa là \( 8x \). Ta kiểm tra xem có phải là \( 2AB \) không: \( 2 \cdot x \cdot 4 = 8x \). Hoàn toàn chính xác!

Vậy, đa thức \( x^2+8x+16 \) có thể viết lại thành:

\( x^2+8x+16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (A+B)^2 = A^2+2AB+B^2 \), với \( A=x \) và \( B=4 \), ta được:

\( x^2+8x+16 = (x+4)^2 \)

Bài 1b): Phân tích đa thức \( 9x^2-6x+1 \)

Tương tự như câu a), đây là dạng tam thức. Vì có dấu trừ ở số hạng giữa, ta nghĩ đến bình phương của một hiệu: \( (A-B)^2 = A^2-2AB+B^2 \).

Ta có:

• Số hạng thứ nhất là \( 9x^2 \), mà \( 9x^2 = (3x)^2 \), vậy \( A=3x \).
• Số hạng thứ ba là \( 1 \), mà \( 1=1^2 \), vậy \( B=1 \).
• Số hạng ở giữa là \( -6x \). Ta kiểm tra xem có phải là \( -2AB \) không: \( -2 \cdot (3x) \cdot 1 = -6x \). Rất chính xác!

Vậy, đa thức \( 9x^2-6x+1 \) có thể viết lại thành:

\( 9x^2-6x+1 = (3x)^2 – 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (A-B)^2 = A^2-2AB+B^2 \), với \( A=3x \) và \( B=1 \), ta được:

\( 9x^2-6x+1 = (3x-1)^2 \)

Bài 1c): Phân tích đa thức \( 10x-25-x^2 \)

Đối với bài này, các em cần sắp xếp lại các số hạng để dễ nhìn hơn và để ý dấu của \( x^2 \).

Ta viết lại đa thức theo thứ tự bậc giảm dần:

\( 10x-25-x^2 = -x^2+10x-25 \)

Để dễ dàng áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta nên đặt dấu trừ ra ngoài:

\( -(x^2-10x+25) \)

Bây giờ, hãy nhìn vào biểu thức trong ngoặc: \( x^2-10x+25 \). Đây lại là dạng bình phương của một hiệu: \( (A-B)^2 \).

• \( A=x \) (vì \( x^2 \))
• \( B=5 \) (vì \( 25=5^2 \))
• Kiểm tra số hạng giữa: \( -2AB = -2 \cdot x \cdot 5 = -10x \). Đúng rồi!

Vậy, biểu thức trong ngoặc là \( (x-5)^2 \).

Khi đó, đa thức ban đầu trở thành:

\( -(x^2-10x+25) = -(x-5)^2 \)

Bài 1d): Phân tích đa thức \( 16-x^2 \)

Bài này trông đơn giản hơn, chỉ có hai số hạng. Các em hãy nghĩ ngay đến hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( A^2-B^2 = (A-B)(A+B) \).

Ta có:

• Số hạng thứ nhất là \( 16 \), mà \( 16=4^2 \), vậy \( A=4 \).
• Số hạng thứ hai là \( x^2 \), vậy \( B=x \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^2-B^2 = (A-B)(A+B) \), với \( A=4 \) và \( B=x \), ta được:

\( 16-x^2 = 4^2 – x^2 = (4-x)(4+x) \)

Bài 1e): Phân tích đa thức \( (2x+5)-9x^2 \)

(Thầy/cô xin phép sửa lại đề bài một chút thành \( (2x+5)^2-9x^2 \) để phù hợp với việc sử dụng hằng đẳng thức, vì nếu chỉ là \( (2x+5)-9x^2 \) thì không thể áp dụng các hằng đẳng thức cơ bản để phân tích thành nhân tử một cách trực tiếp được.)

Với dạng \( (2x+5)^2-9x^2 \), chúng ta lại thấy đây là hiệu hai bình phương: \( A^2-B^2 \).

Ta có:

• Số hạng thứ nhất là \( (2x+5)^2 \), vậy \( A=(2x+5) \).
• Số hạng thứ hai là \( 9x^2 \), mà \( 9x^2=(3x)^2 \), vậy \( B=3x \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^2-B^2 = (A-B)(A+B) \), ta được:

\( (2x+5)^2-9x^2 = ((2x+5)-3x)((2x+5)+3x) \)

Bây giờ chúng ta rút gọn từng ngoặc:

• Ngoặc thứ nhất: \( (2x+5)-3x = 2x+5-3x = -x+5 \) (hay \( 5-x \))
• Ngoặc thứ hai: \( (2x+5)+3x = 2x+5+3x = 5x+5 \)

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\( (2x+5)^2-9x^2 = (5-x)(5x+5) \)

Chúng ta có thể phân tích tiếp nhân tử chung trong ngoặc thứ hai:

\( (5-x)(5x+5) = (5-x) \cdot 5 \cdot (x+1) = 5(5-x)(x+1) \)

Bài 1f): Phân tích đa thức \( 1-27x^3 \)

Với hai số hạng có dạng lập phương, chúng ta sẽ nghĩ ngay đến hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) \).

Ta có:

• Số hạng thứ nhất là \( 1 \), mà \( 1=1^3 \), vậy \( A=1 \).
• Số hạng thứ hai là \( 27x^3 \), mà \( 27x^3 = (3x)^3 \), vậy \( B=3x \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) \), ta được:

\( 1-27x^3 = 1^3 – (3x)^3 = (1-3x)(1^2 + 1 \cdot (3x) + (3x)^2) \)

Rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ hai:

\( 1-27x^3 = (1-3x)(1 + 3x + 9x^2) \)

Bài 1g): Phân tích đa thức \( x^2+5x+25/4 \)

Đây lại là một tam thức có dạng bình phương của một tổng. Đừng ngại khi thấy phân số nhé!

Ta thấy:

• Số hạng thứ nhất là \( x^2 \), vậy \( A=x \).
• Số hạng thứ ba là \( 25/4 \), mà \( 25/4 = (5/2)^2 \), vậy \( B=5/2 \).
• Số hạng ở giữa là \( 5x \). Ta kiểm tra xem có phải là \( 2AB \) không: \( 2 \cdot x \cdot (5/2) = 5x \). Hoàn toàn chính xác!

Vậy, đa thức \( x^2+5x+25/4 \) có thể viết lại thành:

\( x^2+5x+25/4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (5/2) + (5/2)^2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (A+B)^2 = A^2+2AB+B^2 \), với \( A=x \) và \( B=5/2 \), ta được:

\( x^2+5x+25/4 = (x+5/2)^2 \)

Vậy là chúng ta đã hoàn thành tất cả các bài tập. Thầy/cô hy vọng qua phần trình bày chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo kỹ năng này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô. Chúc các em học tốt!