Chào em! Cô/thầy đã nhận được câu hỏi của em. Một bài toán rất hay và thú vị đấy! Em đang gấp đúng không? Cô/thầy sẽ giúp em giải quyết nhanh chóng đây!

Đề bài: Tìm ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.

Chúng ta cùng nhau phân tích nhé!

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa:

• Số lẻ: Là các số tự nhiên không chia hết cho 2 (ví dụ: 1, 3, 5, 7, …).
• Số nguyên tố: Là các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó (ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, …).

Bây giờ, chúng ta hãy thử tìm các bộ ba số lẻ liên tiếp và kiểm tra xem chúng có phải là số nguyên tố hay không nhé:

Bước 1: Thử các trường hợp nhỏ.

• Nếu ta bắt đầu với số lẻ đầu tiên là 1:
  
  Ba số lẻ liên tiếp sẽ là \(1, 3, 5\).
  
  Tuy nhiên, số 1 không phải là số nguyên tố (vì số nguyên tố phải lớn hơn 1). Vậy bộ này không thỏa mãn.
• Nếu ta bắt đầu với số lẻ đầu tiên là 3:
  
  Ba số lẻ liên tiếp sẽ là \(3, 5, 7\).
  
  Kiểm tra:
  • \(3\) là số nguyên tố.
  • \(5\) là số nguyên tố.
  • \(7\) là số nguyên tố.

  Ồ! Bộ ba số này thỏa mãn yêu cầu đề bài! Vậy đây là một đáp án rồi!

• Nhưng liệu có còn bộ nào khác không? Chúng ta cùng thử tiếp nhé!
  
  Nếu ta bắt đầu với số lẻ đầu tiên là 5:
  
  Ba số lẻ liên tiếp sẽ là \(5, 7, 9\).
  
  Kiểm tra:
  • \(5\) là số nguyên tố.
  • \(7\) là số nguyên tố.
  • \(9\) không phải là số nguyên tố (vì \(9\) chia hết cho \(1, 3, 9\)). Vậy bộ này không thỏa mãn.
• Nếu ta bắt đầu với số lẻ đầu tiên là 7:
  
  Ba số lẻ liên tiếp sẽ là \(7, 9, 11\).
  
  Chúng ta lại thấy \(9\) không phải là số nguyên tố. Vậy bộ này cũng không thỏa mãn.

Em có nhận ra điều gì đặc biệt không? Hình như cứ sau bộ \(3, 5, 7\) thì chúng ta lại gặp phải một số không phải là số nguyên tố! Tại sao lại như vậy nhỉ?

Bước 2: Giải thích tổng quát (phần này hơi nâng cao một chút nhưng rất hay nhé!).

Gọi ba số lẻ liên tiếp đó là \(p, p+2, p+4\).

Chúng ta hãy xét xem các số này khi chia cho 3 thì dư bao nhiêu nhé (vì 3 là số nguyên tố nhỏ nhất mà có thể “chia chác” các số khác).

Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 3 thì chỉ có thể có 3 trường hợp về số dư:

1. Trường hợp 1: Số \(p\) chia hết cho 3.
   
   Nếu \(p\) là số nguyên tố và \(p\) chia hết cho 3, thì \(p\) BẮT BUỘC phải là số 3 (vì số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3 chỉ có thể là chính nó!).
   
   Nếu \(p = 3\), thì ba số liên tiếp sẽ là \(3, 3+2, 3+4\), tức là \(3, 5, 7\).
   
   Chúng ta đã kiểm tra ở trên và thấy rằng \(3, 5, 7\) đều là các số nguyên tố. Vậy trường hợp này cho ta một đáp án đúng.
2. Trường hợp 2: Số \(p\) chia cho 3 dư 1.
   
   Tức là, \(p = 3k + 1\) (với \(k\) là số tự nhiên nào đó).
   
   Khi đó, số thứ hai là \(p+2\).
   
   \(p+2 = (3k+1) + 2 = 3k + 3 = 3(k+1)\).
   
   Rõ ràng, \(p+2\) chia hết cho 3.
   
   Vì \(p\) là số lẻ lớn hơn 3 (chúng ta đang xét trường hợp khác \(p=3\)), nên \(p+2\) chắc chắn sẽ lớn hơn 3.
   
   Một số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 thì không thể là số nguyên tố (ví dụ: 6, 9, 12, … đều không phải số nguyên tố).
   
   Vậy, trong trường hợp này, \(p+2\) không phải là số nguyên tố, nên bộ ba số này không thỏa mãn.
3. Trường hợp 3: Số \(p\) chia cho 3 dư 2.
   
   Tức là, \(p = 3k + 2\) (với \(k\) là số tự nhiên nào đó).
   
   Khi đó, số thứ ba là \(p+4\).
   
   \(p+4 = (3k+2) + 4 = 3k + 6 = 3(k+2)\).
   
   Rõ ràng, \(p+4\) chia hết cho 3.
   
   Tương tự như trên, vì \(p\) là số lẻ lớn hơn 3, nên \(p+4\) chắc chắn sẽ lớn hơn 3.
   
   Một số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 thì không thể là số nguyên tố.
   
   Vậy, trong trường hợp này, \(p+4\) không phải là số nguyên tố, nên bộ ba số này cũng không thỏa mãn.

Kết luận:

Qua việc phân tích các trường hợp, chúng ta thấy rằng chỉ có duy nhất một bộ ba số lẻ liên tiếp thỏa mãn điều kiện đều là số nguyên tố, đó chính là bộ số:

\(3, 5, 7\)

Hy vọng em đã hiểu rõ bài toán này nhé! Đây là một bài toán rất hay giúp chúng ta tư duy logic về các tính chất của số nguyên tố đấy. Chúc em học tốt!

Cô/thầy Toán lớp 6 của em.