Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải hai bài toán thú vị về tính chia hết này. Đây là những dạng bài rất hay giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic và kỹ năng biến đổi biểu thức.

Chúng ta cùng bắt đầu với bài số 1 nhé!

Bài 1: Cho a,b ∈ N và ( 11a + 2b ) chia hết 12 . Chứng minh rằng : ( a + 34b ) chia hết cho 12

Phân tích đề bài:

Chúng ta được cho biết rằng biểu thức \( (11a + 2b) \) chia hết cho 12. Nhiệm vụ của chúng ta là phải chứng minh rằng biểu thức \( (a + 34b) \) cũng chia hết cho 12.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một tính chất rất quan trọng của phép chia hết:

• Nếu tổng (hoặc hiệu) của hai số chia hết cho một số \( m \), và một trong hai số đó chia hết cho \( m \), thì số còn lại cũng phải chia hết cho \( m \).
• Nói cách khác: Nếu \( (X + Y) \vdots m \) và \( X \vdots m \), thì \( Y \vdots m \).
• Hoặc: Nếu \( (X – Y) \vdots m \) và \( X \vdots m \), thì \( Y \vdots m \).
• Và tất nhiên, nếu \( X \vdots m \) và \( Y \vdots m \), thì \( (X + Y) \vdots m \) và \( (X – Y) \vdots m \).

Lời giải chi tiết:

Các em hãy nhìn vào hai biểu thức: \( (11a + 2b) \) và \( (a + 34b) \). Chúng ta có thể thử cộng hoặc trừ chúng để xem có điều gì đặc biệt xảy ra không nhé.

Ta có biểu thức thứ nhất là \( (11a + 2b) \).
Biểu thức thứ hai là \( (a + 34b) \).

Bây giờ, chúng ta hãy thử cộng hai biểu thức này lại với nhau:

\( (11a + 2b) + (a + 34b) \)

Chúng ta sẽ nhóm các số hạng có ‘a’ lại với nhau và các số hạng có ‘b’ lại với nhau:

\( = (11a + a) + (2b + 34b) \)

\( = 12a + 36b \)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét biểu thức \( 12a + 36b \):

• Số hạng \( 12a \) rõ ràng chia hết cho 12 (vì có thừa số 12).
• Số hạng \( 36b \) cũng chia hết cho 12, vì \( 36 = 3 \times 12 \), nên \( 36b = 3 \times 12 \times b \), tức là \( 36b \) chia hết cho 12.

Vì cả \( 12a \) và \( 36b \) đều chia hết cho 12, nên tổng của chúng là \( (12a + 36b) \) cũng phải chia hết cho 12.
Vậy, ta có: \( (11a + 2b) + (a + 34b) \) chia hết cho 12.

Theo đề bài, chúng ta đã biết rằng \( (11a + 2b) \) chia hết cho 12.

Chúng ta có tổng \( (X + Y) \) chia hết cho 12, trong đó \( X = (11a + 2b) \) và \( Y = (a + 34b) \).
Vì \( (X + Y) \vdots 12 \) và \( X \vdots 12 \), nên suy ra \( Y \vdots 12 \).

Do đó, \( (a + 34b) \) phải chia hết cho 12.

Chúng ta đã chứng minh xong bài 1!

—

Tiếp theo, chúng ta cùng đến với bài số 2 nhé!

Bài 2: Cho a,b ∈ N . Chứng minh rằng : nếu có ( 111a + 23b ) chia hết 12 thì ( 9a + 12b ) chia hết 12.

Phân tích đề bài:

Chúng ta được cho biết rằng nếu biểu thức \( (111a + 23b) \) chia hết cho 12, thì phải chứng minh rằng biểu thức \( (9a + 12b) \) cũng chia hết cho 12.

Để làm bài này, chúng ta sẽ rút gọn các biểu thức về dạng đơn giản hơn khi xét tính chia hết cho 12.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích biểu thức cần chứng minh \( (9a + 12b) \)

Ta có biểu thức \( (9a + 12b) \).
Chúng ta thấy rằng số hạng \( 12b \) luôn chia hết cho 12 (vì có thừa số 12).
Do đó, để cho \( (9a + 12b) \) chia hết cho 12, thì điều kiện cần và đủ là \( 9a \) phải chia hết cho 12.
Nếu \( 9a \) chia hết cho 12, điều này có nghĩa là \( 9a \) là bội của 12.
\( 9a = 12k \) (với \( k \) là số tự nhiên).
Chia cả hai vế cho 3: \( 3a = 4k \).
Điều này có nghĩa là \( 3a \) phải chia hết cho 4. Vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \( a \) phải chia hết cho 4.
Kết luận tạm thời: Biểu thức \( (9a + 12b) \) chia hết cho 12 khi và chỉ khi \( a \) chia hết cho 4.

Bước 2: Phân tích biểu thức đã cho \( (111a + 23b) \)

Ta có \( (111a + 23b) \) chia hết cho 12.
Chúng ta hãy tách các số hạng để làm rõ điều này:

• Số 111: \( 111 = 9 \times 12 + 3 \).
  Vậy \( 111a = (9 \times 12 + 3)a = 108a + 3a \).
  Vì \( 108a \) chia hết cho 12 (do \( 108 = 9 \times 12 \)), nên để \( 111a \) chia hết cho 12, thì \( 3a \) cũng phải chia hết cho 12.
• Số 23: \( 23 = 1 \times 12 + 11 \).
  Vậy \( 23b = (1 \times 12 + 11)b = 12b + 11b \).
  Vì \( 12b \) chia hết cho 12, nên để \( 23b \) chia hết cho 12, thì \( 11b \) cũng phải chia hết cho 12.

Do đó, nếu \( (111a + 23b) \) chia hết cho 12, thì ta có thể viết lại như sau:

\( (108a + 3a + 12b + 11b) \) chia hết cho 12.

Vì \( 108a \) và \( 12b \) đều chia hết cho 12, nên để cả biểu thức trên chia hết cho 12 thì phần còn lại cũng phải chia hết cho 12.

Tức là: \( (3a + 11b) \) phải chia hết cho 12.

Bước 3: Kiểm tra mối liên hệ

Từ đề bài, chúng ta biết rằng: Nếu \( (3a + 11b) \) chia hết cho 12.
Chúng ta cần chứng minh rằng: \( a \) chia hết cho 4.

Hãy thử một ví dụ cụ thể để kiểm tra nhé các em:

Giả sử ta chọn \( a = 1 \) và \( b = 9 \).
Khi đó: \( (3a + 11b) = 3(1) + 11(9) = 3 + 99 = 102 \).
Số 102 không chia hết cho 12 (vì \( 102 = 8 \times 12 + 6 \)). Vậy cặp \( a=1, b=9 \) không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Hãy thử một cặp số khác thỏa mãn điều kiện \( (3a + 11b) \) chia hết cho 12.
Ví dụ, nếu ta chọn \( a = 1 \).
Thì \( (3 \times 1 + 11b) = 3 + 11b \) phải chia hết cho 12.
Nếu \( b = 3 \): \( 3 + 11(3) = 3 + 33 = 36 \). Số 36 chia hết cho 12. (Tuyệt vời, chúng ta đã tìm được một cặp \( a, b \) thỏa mãn điều kiện).

Vậy với \( a = 1 \) và \( b = 3 \):

• Điều kiện đề bài: \( (111a + 23b) = 111(1) + 23(3) = 111 + 69 = 180 \).
  Số 180 chia hết cho 12 (vì \( 180 = 15 \times 12 \)). Điều kiện này đúng.
• Biểu thức cần chứng minh: \( (9a + 12b) = 9(1) + 12(3) = 9 + 36 = 45 \).
  Số 45 KHÔNG chia hết cho 12 (vì \( 45 = 3 \times 12 + 9 \)).

Ồ! Chúng ta vừa tìm được một ví dụ mà điều kiện đề bài đúng nhưng kết luận lại sai. Điều này có nghĩa là mệnh đề “nếu có \( (111a + 23b) \) chia hết 12 thì \( (9a + 12b) \) chia hết 12” là SAI.

Kết luận cho bài 2:

Các em thân mến, qua ví dụ cụ thể \( a=1, b=3 \), chúng ta thấy rằng:
Nếu \( a=1, b=3 \), thì \( (111a + 23b) = 180 \) chia hết cho 12.
Nhưng \( (9a + 12b) = 45 \) lại không chia hết cho 12.

Vì vậy, mệnh đề mà đề bài yêu cầu chứng minh là không đúng trong mọi trường hợp. Có vẻ như đề bài có thể có một sự nhầm lẫn nhỏ hoặc cần thêm điều kiện nào đó. Trong Toán học, nếu chúng ta tìm được chỉ một trường hợp mà mệnh đề không đúng, thì mệnh đề đó được coi là sai.

Điều này cũng là một bài học rất hay: đôi khi các bài toán có thể không đúng như ta nghĩ, và việc kiểm tra bằng ví dụ cụ thể (phản ví dụ) là một kỹ năng quan trọng để phát hiện ra điều đó!

Cô hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tính chia hết và cách tiếp cận các bài toán chứng minh nhé. Cố gắng lên các em!