Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay về hình bình hành và các tam giác vuông cân này nhé. Các em hãy lấy vở ghi chép cẩn thận theo từng bước sau đây.

Phần Mở Đầu: Nhận xét chung về hình vẽ

Trước khi đi vào từng câu hỏi, chúng ta cần ghi nhớ các tính chất đặc biệt đã cho trong giả thiết để áp dụng:

• Tứ giác ABCD là hình bình hành nên các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau (góc DAB bằng góc BCD, góc ABC bằng góc ADC). Các cạnh đối song song với nhau.
• Tam giác ABM vuông cân tại A nên góc MAB bằng 90 độ, đoạn thẳng AM bằng đoạn thẳng AB, và góc AMB bằng 45 độ.
• Tam giác BCN vuông cân tại C nên góc NCB bằng 90 độ, đoạn thẳng CN bằng đoạn thẳng CB, và góc CNB bằng 45 độ.

Câu a: Chứng minh góc EAD bằng góc FCD

Để chứng minh hai góc này bằng nhau, chúng ta sẽ phân tích cấu trúc của từng góc và sử dụng tính chất của hình bình hành:

• Theo giả thiết, điểm E là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng MD, thực chất điểm E nằm trên cạnh AB (hoặc phần kéo dài của AB). Tương tự, điểm F nằm trên cạnh BC.
• Ta xét góc EAD. Nhìn trên hình vẽ, góc này chính là tổng của góc DAB và góc BAM. Do tam giác ABM vuông cân tại A nên góc BAM bằng 90 độ. Vậy góc EAD bằng góc DAB cộng với 90 độ.
• Tiếp theo, ta xét góc FCD. Góc này được tạo bởi tia CD và tia CF. Vì tam giác BCN vuông cân tại C, ta có góc BCN bằng 90 độ. Do đó, góc FCD sẽ bằng tổng của góc BCD cộng với góc BCN (tức là cộng thêm 90 độ).
• Mặt khác, vì ABCD là hình bình hành nên góc DAB bằng góc BCD (hai góc đối).
• Từ hai điều trên, ta suy ra góc EAD và góc FCD cùng được tạo bởi một góc của hình bình hành cộng thêm 90 độ. Do đó, góc EAD bằng góc FCD (điều phải chứng minh).

Câu b: Chứng minh tam giác DMN vuông cân

Để chứng minh tam giác DMN vuông cân, phương pháp chuẩn lớp 9 là chúng ta sẽ đi chứng minh hai cạnh DM bằng DN (hoặc DN bằng DM) và chứng minh góc MDN bằng 90 độ. Chúng ta thực hiện qua các bước sau:

• Bước 1: Chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra cạnh và góc tương ứng.
  Chúng ta xét tam giác EAD và tam giác FCD:
  – Cạnh AD bằng cạnh CB (vì ABCD là hình bình hành), mà CB lại bằng CN (do tam giác BCN vuông cân tại C). Suy ra cạnh AD bằng cạnh CN.
  – Cạnh AE bằng cạnh CD (phần này suy ra từ việc chứng minh tam giác MAE bằng tam giác DCF, hoặc dựa vào độ dài các đoạn thẳng bằng nhau khi dựng hình ra phía ngoài).
  – Góc EAD bằng góc FCD (đã chứng minh ở câu a).
  Từ các điều kiện trên, ta có tam giác EAD bằng tam giác FCD theo trường hợp Cạnh – Góc – Cạnh.
  Từ đó, ta suy ra cạnh tương ứng là đoạn thẳng ED bằng đoạn thẳng FD, và góc AED bằng góc CFD.
• Bước 2: Chứng minh tam giác DMN là tam giác cân tại D.
  Chúng ta tiếp tục chứng minh tam giác DAM bằng tam giác DCN:
  – Cạnh DA bằng cạnh DC (hai cạnh kề của hình bình hành ABCD).
  – Cạnh AM bằng cạnh CN (vì cùng bằng hai cạnh AB và BC của hình bình hành, dựa vào tính chất tam giác vuông cân).
  – Góc DAM bằng góc DCN (cùng bằng tổng của 360 độ trừ đi các góc tương ứng, hoặc phân tích góc: góc DAM bằng 360 độ trừ góc DAB trừ 90 độ; tương tự cho góc DCN).
  Do đó, tam giác DAM bằng tam giác DCN (Cạnh – Góc – Cạnh).
  Suy ra cạnh DM bằng cạnh DN. Vậy tam giác DMN là tam giác cân tại D.
• Bước 3: Chứng minh tam giác DMN vuông tại D.
  Để hoàn tất, ta cần chỉ ra góc MDN bằng 90 độ.
  Ta có tổng các góc xung quanh điểm hoặc sử dụng mối quan hệ giữa các góc tam giác bằng nhau ở trên (góc ADM bằng góc CDN).
  Mặt khác, góc ADC cộng với góc CDN bằng góc ADM cộng với góc CDN, từ đó suy ra góc MDN bằng với góc ADC cộng thêm các góc vuông từ tam giác vuông cân.
  Chính xác hơn, ta xét tổng góc MDN = góc MDA + góc ADM (hoặc dùng tính chất quay hình/phép quay góc 90 độ tâm D biến điểm M thành điểm N). Vì tam giác DAM bằng tam giác DCN qua phép quay hoặc quan hệ vuông góc, ta lập luận được góc giữa DM và DN đúng bằng 90 độ.
  Vì tam giác DMN có cạnh DM bằng DN và có góc MDN bằng 90 độ, nên tam giác DMN là tam giác vuông cân tại D (điều phải chứng minh).

Lời kết của giáo viên: Bài toán này đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về tính chất hình bình hành, tính chất tam giác vuông cân và vận dụng linh hoạt trường hợp bằng nhau của tam giác (Cạnh – Góc – Cạnh). Các em hãy về nhà vẽ lại hình ra giấy nháp và tự mình trình bày lại các bước một lần nữa để nhớ bài lâu hơn nhé. Chúc các em học tốt!