Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia…

Chào em, thầy/cô rất sẵn lòng giúp em giải quyết bài toán hình học lớp 6 này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé! Em hãy lấy giấy bút ra và cùng theo dõi từng bước.

Phần a) Chứng minh DM = EN

• Đầu tiên, vì tam giác ABC có AB bằng AC nên tam giác này là tam giác cân tại A. Do đó, góc ở đáy là góc ABC bằng góc ACB.
• Mặt khác, góc ABC và góc MBD là hai góc đối đỉnh nên chúng bằng nhau. Tương tự, góc ACB và góc NEC cũng là hai góc đối đỉnh nên chúng bằng nhau.
• Từ hai điều trên, ta suy ra góc MBD bằng góc NEC.
• Xét hai tam giác vuông là tam giác MDB (vuông tại D) và tam giác NEC (vuông tại E), ta có:
  • Cạnh BD bằng cạnh CE (theo giả thiết).
  • Góc MBD bằng góc NEC (chúng ta vừa chứng minh ở trên).
• Do đó, tam giác MDB bằng tam giác NEC (theo trường hợp góc – cạnh – góc).
• Suy ra cạnh DM bằng cạnh EN (hai cạnh tương ứng). Điều phải chứng minh ở câu a đã hoàn thành.

Phần b) Chứng minh đường thẳng BC cắt MN tại I là trung điểm của MN

• Từ điểm M, ta kẻ một đường thẳng song song với BC, cắt tia đối của tia CA tại một điểm phụ (hoặc chúng ta dùng tính chất hình học lớp 6 về đường vuông góc chung). Ở đây, cách đơn giản nhất cho chương trình lớp 6 là xét các góc so le trong và đối đỉnh.
• Gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và đoạn thẳng BC.
• Ta xét hai tam giác vuông là tam giác MDI (vuông tại D) và tam giác NEI (vuông tại E):
  • Ta có góc MDI bằng góc NEI vì cùng bằng 90 độ.
  • Cạnh DM bằng cạnh EN (đã chứng minh ở phần a).
  • Góc MID bằng góc NIE (hai góc đối đỉnh).
• Do đó, tam giác MDI bằng tam giác NEI (theo trường hợp góc – cạnh – góc).
• Suy ra cạnh IM bằng cạnh IN (hai cạnh tương ứng).
• Vì điểm I nằm trên đoạn thẳng MN và cách đều hai đầu mút M, N nên I chính là trung điểm của đoạn thẳng MN. Điều phải chứng minh ở câu b đã hoàn thành.

Phần c) Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định

• Từ trung điểm I của đoạn thẳng MN, ta kẻ đường thẳng vuông góc với MN. Đường thẳng này cắt cạnh AB tại một điểm và cắt cạnh AC tại một điểm khác. Tuy nhiên, cách nhìn nhanh nhất cho bài toán nâng cao này là dựa vào tính chất đối xứng của tam giác cân ABC.
• Vì tam giác ABC cân tại A, và điểm D chạy trên cạnh BC, điểm E chạy trên tia đối của tia CB sao cho khoảng cách BD bằng CE, hình vẽ có tính đối xứng qua đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC của tam giác ABC.
• Khi điểm D thay đổi vị trí trên đoạn thẳng BC nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài, đường thẳng vuông góc với MN tại trung điểm I luôn luôn đi qua đỉnh A của tam giác ABC.
• Vậy điểm cố định mà đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua chính là đỉnh A của tam giác ban đầu.

Chúc em học tập thật tốt và luôn tự tin giải các bài toán hình học tiếp theo nhé!