Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán liên quan đến việc rút gọn biểu thức và biến đổi biểu thức về dạng tổng của hai bình phương. Đây là những dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8 của chúng ta.

Thầy/cô nhận thấy ở bài 1.1 có một chút nhầm lẫn trong cách ghi đề bài: \( (x^2x+2) \). Với kinh nghiệm giảng dạy, thầy/cô xin phép được điều chỉnh đề bài 1.1 thành \( (x^2+2x+2) – (x^2-2) . ( x^2+2x+2) . (x^2+2) \) để bài toán có thể được giải một cách hợp lý và phù hợp với kiến thức chúng ta đã học về rút gọn biểu thức bằng cách đặt nhân tử chung. Nếu đề bài gốc của em có ý khác, vui lòng cho thầy/cô biết nhé.

Bây giờ, chúng ta hãy bắt đầu giải chi tiết từng bài một.

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

1) \( (x^2+2x+2) – (x^2-2) . ( x^2+2x+2) . (x^2+2) \)

Đây là bài toán rút gọn biểu thức có chứa các nhân tử chung. Chúng ta sẽ đặt nhân tử chung ra ngoài để đơn giản hóa biểu thức.

Ta có:

\( (x^2+2x+2) – (x^2-2) . ( x^2+2x+2) . (x^2+2) \)

Nhận thấy nhân tử \( (x^2+2x+2) \) xuất hiện ở cả hai phần của phép trừ.

Đặt \( (x^2+2x+2) \) làm nhân tử chung:

\( = (x^2+2x+2) \left[ 1 – (x^2-2) . (x^2+2) \right] \)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn phần trong dấu ngoặc vuông. Chúng ta thấy \( (x^2-2) . (x^2+2) \) là dạng của hằng đẳng thức “hiệu hai bình phương”: \( (A-B)(A+B) = A^2-B^2 \).

Áp dụng hằng đẳng thức đó với \( A=x^2 \) và \( B=2 \):

\( (x^2-2)(x^2+2) = (x^2)^2 – 2^2 = x^4 – 4 \)

Thay kết quả này vào biểu thức trên:

\( = (x^2+2x+2) [1 – (x^4 – 4)] \)

Mở ngoặc vuông và đổi dấu các hạng tử bên trong:

\( = (x^2+2x+2) [1 – x^4 + 4] \)

Cộng các hằng số lại:

\( = (x^2+2x+2) [5 – x^4] \)

Vậy, biểu thức rút gọn được là: \( (x^2+2x+2)(5-x^4) \).

2) \( (x+1)^3 + (x-1)^3 + x^3 – 2x.(x+1).(x-1) \)

Ở bài này, chúng ta sẽ áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn.

Nhắc lại các hằng đẳng thức cần dùng:

• Tổng lập phương: \( (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \)
• Hiệu lập phương: \( (A-B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 \)
• Hiệu hai bình phương: \( (A+B)(A-B) = A^2 – B^2 \)

Áp dụng vào từng phần của biểu thức:

a) Khai triển \( (x+1)^3 \):

\( (x+1)^3 = x^3 + 3.x^2.1 + 3.x.1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)

b) Khai triển \( (x-1)^3 \):

\( (x-1)^3 = x^3 – 3.x^2.1 + 3.x.1^2 – 1^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \)

c) Rút gọn \( 2x.(x+1).(x-1) \):

Đầu tiên, rút gọn \( (x+1)(x-1) \) bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

\( (x+1)(x-1) = x^2 – 1^2 = x^2 – 1 \)

Sau đó, nhân với \( 2x \):

\( 2x.(x^2-1) = 2x^3 – 2x \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các kết quả này trở lại biểu thức ban đầu:

\( (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) + x^3 – (2x^3 – 2x) \)

Tiếp theo, mở ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x^3 – 3x^2 + 3x – 1 + x^3 – 2x^3 + 2x \)

Nhóm các hạng tử có cùng bậc của \( x \):

• Các hạng tử chứa \( x^3 \): \( x^3 + x^3 + x^3 – 2x^3 = (1+1+1-2)x^3 = 1x^3 = x^3 \)
• Các hạng tử chứa \( x^2 \): \( 3x^2 – 3x^2 = 0x^2 = 0 \)
• Các hạng tử chứa \( x \): \( 3x + 3x + 2x = (3+3+2)x = 8x \)
• Các hạng tử tự do (hằng số): \( 1 – 1 = 0 \)

Vậy, biểu thức rút gọn được là: \( x^3 + 8x \).

Bài 2: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng 2 bình phương

Để viết một biểu thức dưới dạng tổng của hai bình phương, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “hoàn thành bình phương” cho các nhóm hạng tử.

1) \( x^2 + 10x + 26 + y^2 + 2y \)

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử chứa \( x \) và các hạng tử chứa \( y \), sau đó hoàn thành bình phương cho từng nhóm.

a) Nhóm các hạng tử chứa \( x \): \( x^2 + 10x \)

Để hoàn thành bình phương thành dạng \( (x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 \), ta có \( 2a = 10 \Rightarrow a = 5 \). Vậy, ta cần \( a^2 = 5^2 = 25 \).

\( x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 \)

b) Nhóm các hạng tử chứa \( y \): \( y^2 + 2y \)

Để hoàn thành bình phương thành dạng \( (y+b)^2 = y^2 + 2by + b^2 \), ta có \( 2b = 2 \Rightarrow b = 1 \). Vậy, ta cần \( b^2 = 1^2 = 1 \).

\( y^2 + 2y + 1 = (y+1)^2 \)

Bây giờ, hãy nhìn vào hằng số \( 26 \) trong biểu thức gốc. Chúng ta đã sử dụng \( 25 \) cho nhóm \( x \) và \( 1 \) cho nhóm \( y \). Tổng cộng \( 25+1 = 26 \), đúng bằng hằng số trong đề bài.

Vậy, ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\( x^2 + 10x + 26 + y^2 + 2y \)

\( = (x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 2y + 1) \)

\( = (x+5)^2 + (y+1)^2 \)

Vậy, biểu thức đã được viết dưới dạng tổng của hai bình phương là \( (x+5)^2 + (y+1)^2 \).

2) \( x^2 – 2xy + 2y^2 + 2y + 1 \)

Với biểu thức này, chúng ta cần nhận diện một bình phương chứa cả \( x \) và \( y \), sau đó phần còn lại sẽ tạo thành bình phương thứ hai.

Quan sát các hạng tử \( x^2 – 2xy \). Điều này gợi ý đến hằng đẳng thức \( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \).

Nếu ta chọn \( A=x \) và \( B=y \), thì \( (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \).

Hãy tách biểu thức ban đầu thành phần này và phần còn lại:

\( x^2 – 2xy + 2y^2 + 2y + 1 \)

Để có \( (x-y)^2 \), ta cần \( x^2 – 2xy + y^2 \). Biểu thức gốc có \( 2y^2 \), vậy ta tách \( 2y^2 \) thành \( y^2 + y^2 \).

\( = (x^2 – 2xy + y^2) + y^2 + 2y + 1 \)

Phần đầu tiên đã trở thành bình phương: \( (x-y)^2 \).

Bây giờ, chúng ta xét phần còn lại: \( y^2 + 2y + 1 \).

Đây chính là hằng đẳng thức \( (y+1)^2 \).

Vậy, biểu thức đã cho có thể viết lại là:

\( = (x-y)^2 + (y+1)^2 \)

Vậy, biểu thức đã được viết dưới dạng tổng của hai bình phương là \( (x-y)^2 + (y+1)^2 \).

Hy vọng phần giải đáp chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách làm các dạng bài tập này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!

Chúc các em học tốt!