Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập lại một dạng bài so sánh rất thú vị bằng cách sử dụng hằng đẳng thức quen thuộc. Cô hy vọng sau bài học này, các em sẽ nắm vững hơn cách áp dụng hằng đẳng thức để giải quyết bài toán.

Chúng ta sẽ bắt đầu với Bài 1: So sánh.

a) So sánh 19 . 21 và 20^2

Để so sánh hai số này, chúng ta sẽ khéo léo sử dụng hằng đẳng thức (a + b)(a – b) = a^2 – b^2.
Nhìn vào hai số 19 và 21, chúng ta thấy rằng chúng cách đều số 20.
Ta có thể viết lại như sau:

19 = 20 – 1

21 = 20 + 1

Vậy, tích 19 . 21 sẽ là:

\(19 \cdot 21 = (20 – 1)(20 + 1)\)

Áp dụng hằng đẳng thức (a – b)(a + b) = a^2 – b^2 với a = 20 và b = 1, ta được:

\((20 – 1)(20 + 1) = 20^2 – 1^2\)

\(20^2 – 1^2 = 20^2 – 1\)

Bây giờ, chúng ta so sánh kết quả này với \(20^2\).
Ta có \(20^2 – 1\) và \(20^2\).

Vì \(20^2 – 1 < 20^2\), nên:

\(19 \cdot 21 < 20^2\)

Kết luận: \(19 \cdot 21\) nhỏ hơn \(20^2\).

b) So sánh 101 . 99 và 100^2

Tương tự như câu a), chúng ta cũng sẽ sử dụng hằng đẳng thức (a + b)(a – b) = a^2 – b^2.
Ta nhận thấy 101 và 99 cách đều số 100.

Ta viết lại như sau:

101 = 100 + 1

99 = 100 – 1

Vậy, tích 101 . 99 sẽ là:

\(101 \cdot 99 = (100 + 1)(100 – 1)\)

Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 với a = 100 và b = 1, ta được:

\((100 + 1)(100 – 1) = 100^2 – 1^2\)

\(100^2 – 1^2 = 100^2 – 1\)

Bây giờ, chúng ta so sánh kết quả này với \(100^2\).
Ta có \(100^2 – 1\) và \(100^2\).

Vì \(100^2 – 1 < 100^2\), nên:

\(101 \cdot 99 < 100^2\)

Kết luận: \(101 \cdot 99\) nhỏ hơn \(100^2\).

c) So sánh 201 . 199 và 200^2

Chúng ta tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 cho câu này.
Quan sát hai số 201 và 199, ta thấy chúng đều cách số 200 một đơn vị.

Ta viết lại như sau:

201 = 200 + 1

199 = 200 – 1

Vậy, tích 201 . 199 sẽ là:

\(201 \cdot 199 = (200 + 1)(200 – 1)\)

Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 với a = 200 và b = 1, ta được:

\((200 + 1)(200 – 1) = 200^2 – 1^2\)

\(200^2 – 1^2 = 200^2 – 1\)

Bây giờ, chúng ta so sánh kết quả này với \(200^2\).
Ta có \(200^2 – 1\) và \(200^2\).

Vì \(200^2 – 1 < 200^2\), nên:

\(201 \cdot 199 < 200^2\)

Kết luận: \(201 \cdot 199\) nhỏ hơn \(200^2\).

Qua ba câu này, các em có nhận ra một quy luật chung không?
Khi chúng ta có một tích của hai số mà hai số đó cách đều một số thứ ba, ta luôn có thể biến đổi tích đó thành bình phương của số thứ ba trừ đi một số dương (là bình phương của hiệu số đó với các số hạng). Do đó, tích sẽ luôn nhỏ hơn bình phương của số thứ ba.

Ví dụ tổng quát: \((n-1)(n+1) = n^2 – 1^2 = n^2 – 1\), mà \(n^2 – 1 < n^2\).

Cô hy vọng bài giảng hôm nay giúp các em hiểu rõ hơn về cách vận dụng hằng đẳng thức trong việc so sánh các số. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!