Bài 1 : Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 . Tìm h…
Làm bằng 2 ẩn nha
Bài 1: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình với hai ẩn.
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp lần lượt là \(x\) và \(y\).
Vì hai số này là số tự nhiên liên tiếp, nên ta có mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\). Giả sử \(x\) là số nhỏ hơn, thì số liền sau nó sẽ là \(x+1\). Hoặc ta có thể coi \(y = x+1\).
Điều kiện: \(x\) và \(y\) là các số tự nhiên, tức là \(x, y \in \mathbb{N}\).
Bước 2: Lập phương trình dựa vào đề bài.
Theo đề bài, ta có hai thông tin:
- Tích của hai số tự nhiên liên tiếp: \(x \cdot y\)
- Tổng của chúng: \(x + y\)
- Tích lớn hơn tổng là 109: \(x \cdot y = (x + y) + 109\)
Chúng ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa hai số theo một ẩn để phương trình trở nên đơn giản hơn.
Giả sử hai số tự nhiên liên tiếp là \(x\) và \(x+1\).
Khi đó:
- Tích của hai số là: \(x(x+1)\)
- Tổng của hai số là: \(x + (x+1)\)
Theo đề bài, ta có phương trình:
\(x(x+1) = (x + (x+1)) + 109\)
Bước 3: Giải phương trình.
Ta sẽ khai triển và rút gọn phương trình vừa lập được:
\(x^2 + x = 2x + 1 + 109\)
\(x^2 + x = 2x + 110\)
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc hai:
\(x^2 + x – 2x – 110 = 0\)
\(x^2 – x – 110 = 0\)
Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-110\).
Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Ở đây, thầy sẽ phân tích thành nhân tử cho gọn:
Ta cần tìm hai số có tích là -110 và tổng là -1. Hai số đó là -11 và 10.
\(x^2 – 11x + 10x – 110 = 0\)
\(x(x – 11) + 10(x – 11) = 0\)
\((x – 11)(x + 10) = 0\)
Từ đây, ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: \(x – 11 = 0 \implies x = 11\)
- Trường hợp 2: \(x + 10 = 0 \implies x = -10\)
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Vì \(x\) là một số tự nhiên, nên ta loại trường hợp \(x = -10\).
Vậy, ta nhận \(x = 11\).
Nếu \(x = 11\), thì số tự nhiên liên tiếp còn lại là \(x+1 = 11+1 = 12\).
Kiểm tra lại:
- Tích của hai số: \(11 \times 12 = 132\)
- Tổng của hai số: \(11 + 12 = 23\)
- Hiệu của tích và tổng: \(132 – 23 = 109\). Điều này khớp với đề bài.
Kết luận: Hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 11 và 12.
Các em thấy đó, với cách lập phương trình và giải nó, chúng ta đã tìm ra được hai số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Các em hãy cố gắng luyện tập thêm nhiều bài toán tương tự để thành thạo hơn nhé!
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(x,y\) \((x,y \in NN*)\)
Gỉa sử \(x > y\) khi đó \(x = y + 1\) (do \(x,y\) là hai số tự nhiên liên tiếp)
Lại có tích của chúng lớn hơn tổng \(109\) nên ta có phương trình:
\(xy = x + y + 109\)
\(-> y(y + 1) = y + 1 + y + 109\)
\(-> y^2 + y = 2y + 110\)
\(-> y^2 – y – 110 = 0\)
\(-> (y^2 – 11y) + (10y – 110) = 0\)
\(-> y(y – 11) + 10(y – 11) = 0\)
\(-> (y – 11)(y + 10) = 0\)
\(-> y – 11 = 0\) hoặc \(y + 10 = 0\)\(
\)-> y = 11\( hoặc \)y = -10\(
Với điều kiện \)y \in NN*\( thì \)y = 11\( thỏa mãn
Do đó \)x = 11 + 1 = 12\(
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là \)11 và 12`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi hai số cần tìm lần lượt là \(a,b\) \((a,b \in NN** , a > b)\)
Vì hai số cần tìm là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(a = b + 1\)
Tổng hai số cần tìm là: \(a + b\)
Tích hai số cần tìm là \(ab\)
Vì tích hai số lớn hơn tổng của chúng \(109\) nên ta có phương trình:
\(ab – 109 = a + b\)
Khi đó ta có hệ phương trình: \({(a = b + 1),(ab – 109 = a + b):}\)
Thay \(a = b + 1\) vào phương trình thứ hai ta được:
\(b(b + 1) – 109 = b + 1 + b\)
\(=> b^2 + b – 109 = 2b + 1\)
\(=> b^2 – b – 110 = 0\)
\(=> (b^2 – 11b) + (10b – 110) = 0\)
\(=> b(b – 11) + 10(b – 11) = 0\)
\(=> (b + 10)(b – 11) = 0\)
\(=> [(b + 10 = 0),(b – 11 = 0):}\)
\(=> [(b = -10),(b = 11):}\)
Do \(b > 0\) nên \(h = 11\)
\(=> a = b + 1 = 11 + 1 =12\)
Vậy hai số cần tìm là \(11\) và \(12\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment