Xin chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Đây là một dạng bài rất quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng “hoàn thành bình phương” (hay còn gọi là phương pháp thêm bớt để đưa về dạng bình phương).

Mục tiêu của chúng ta là đưa các biểu thức về dạng tổng của các số hạng không âm (thường là bình phương của một biểu thức) cộng với một hằng số. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sẽ bằng hằng số đó, và nó xảy ra khi tất cả các số hạng không âm bằng 0.

Chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

---

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

4) \( D = x^2 – 4x + y^2 + 2y – 10 \)

Lời giải chi tiết:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D \), chúng ta sẽ nhóm các hạng tử theo từng biến và sử dụng phương pháp “hoàn thành bình phương”.

Bước 1: Nhóm các hạng tử có chứa \( x \) và các hạng tử có chứa \( y \).

\( D = (x^2 – 4x) + (y^2 + 2y) – 10 \)

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng nhóm.

• Với nhóm \( (x^2 – 4x) \): Để trở thành bình phương của một hiệu, ta cần thêm \(( \frac{-4}{2} )^2 = (-2)^2 = 4\). Vậy ta thêm 4 và bớt 4.

\( x^2 – 4x = (x^2 – 4x + 4) – 4 = (x – 2)^2 – 4 \)

• Với nhóm \( (y^2 + 2y) \): Để trở thành bình phương của một tổng, ta cần thêm \(( \frac{2}{2} )^2 = 1^2 = 1\). Vậy ta thêm 1 và bớt 1.

\( y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) – 1 = (y + 1)^2 – 1 \)

Bước 3: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương trở lại vào \( D \).

\( D = (x – 2)^2 – 4 + (y + 1)^2 – 1 – 10 \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức.

\( D = (x – 2)^2 + (y + 1)^2 – 4 – 1 – 10 \)

\( D = (x – 2)^2 + (y + 1)^2 – 15 \)

Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

• \( (x – 2)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \).
• \( (y + 1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( y \).

Do đó, \( (x – 2)^2 + (y + 1)^2 \geq 0 \).

Giá trị nhỏ nhất của \( D \) đạt được khi và chỉ khi cả hai bình phương đều bằng 0.

• \( (x – 2)^2 = 0 \Rightarrow x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
• \( (y + 1)^2 = 0 \Rightarrow y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1 \)

Khi đó, \( D_{min} = 0 + 0 – 15 = -15 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D \) là \( -15 \), đạt được khi \( x = 2 \) và \( y = -1 \).

---

5) \( E = 2x – 2xy + 2x^2 + y^2 \)

Lời giải chi tiết:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( E \), chúng ta cũng sẽ tìm cách đưa về tổng các bình phương.

Bước 1: Sắp xếp lại các hạng tử để dễ dàng nhận diện hằng đẳng thức.

Thầy sẽ để các hạng tử bậc hai lên đầu:

\( E = 2x^2 – 2xy + y^2 + 2x \)

Bước 2: Tách hạng tử \( 2x^2 \) thành \( x^2 + x^2 \) để tạo ra hằng đẳng thức với \( -2xy \) và \( y^2 \).

\( E = (x^2 – 2xy + y^2) + x^2 + 2x \)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức \( (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \).

\( (x^2 – 2xy + y^2) = (x – y)^2 \)

Vậy, biểu thức trở thành:

\( E = (x – y)^2 + x^2 + 2x \)

Bước 4: Hoàn thành bình phương cho phần còn lại có biến \( x \).

\( x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) – 1 = (x + 1)^2 – 1 \)

Bước 5: Thay vào biểu thức \( E \) và rút gọn.

\( E = (x – y)^2 + (x + 1)^2 – 1 \)

Bước 6: Xác định giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

• \( (x – y)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x, y \).
• \( (x + 1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

Do đó, \( (x – y)^2 + (x + 1)^2 \geq 0 \).

Giá trị nhỏ nhất của \( E \) đạt được khi và chỉ khi cả hai bình phương đều bằng 0.

• \( (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
• \( (x – y)^2 = 0 \Rightarrow x – y = 0 \Rightarrow y = x \)

Vì \( x = -1 \), nên \( y = -1 \).

Khi đó, \( E_{min} = 0 + 0 – 1 = -1 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( E \) là \( -1 \), đạt được khi \( x = -1 \) và \( y = -1 \).

---

6) \( F = x^2 + 2y^2 + 2xy + 5 – 2y \)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như các bài trước, chúng ta sẽ nhóm và hoàn thành bình phương.

Bước 1: Sắp xếp lại các hạng tử để dễ dàng nhận diện hằng đẳng thức. Ta thấy có \( x^2 \) và \( 2xy \), nên ta sẽ cố gắng tạo thành bình phương liên quan đến \( x \) và \( y \).

Ta có \( 2y^2 \), có thể tách thành \( y^2 + y^2 \).

\( F = (x^2 + 2xy + y^2) + y^2 – 2y + 5 \)

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \).

\( (x^2 + 2xy + y^2) = (x + y)^2 \)

Vậy, biểu thức trở thành:

\( F = (x + y)^2 + y^2 – 2y + 5 \)

Bước 3: Hoàn thành bình phương cho phần còn lại có biến \( y \).

\( y^2 – 2y = (y^2 – 2y + 1) – 1 = (y – 1)^2 – 1 \)

Bước 4: Thay vào biểu thức \( F \) và rút gọn.

\( F = (x + y)^2 + (y – 1)^2 – 1 + 5 \)

\( F = (x + y)^2 + (y – 1)^2 + 4 \)

Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

• \( (x + y)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x, y \).
• \( (y – 1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( y \).

Do đó, \( (x + y)^2 + (y – 1)^2 \geq 0 \).

Giá trị nhỏ nhất của \( F \) đạt được khi và chỉ khi cả hai bình phương đều bằng 0.

• \( (y – 1)^2 = 0 \Rightarrow y – 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \)
• \( (x + y)^2 = 0 \Rightarrow x + y = 0 \)

Vì \( y = 1 \), nên \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).

Khi đó, \( F_{min} = 0 + 0 + 4 = 4 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F \) là \( 4 \), đạt được khi \( x = -1 \) và \( y = 1 \).

---

7) \( G = x^2 – x + 2y^2 – 4y + 3 \)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp hoàn thành bình phương cho từng biến.

Bước 1: Nhóm các hạng tử theo từng biến.

\( G = (x^2 – x) + (2y^2 – 4y) + 3 \)

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng nhóm.

• Với nhóm \( (x^2 – x) \): Ta cần thêm \(( \frac{-1}{2} )^2 = \frac{1}{4}\). Vậy ta thêm \( \frac{1}{4} \) và bớt \( \frac{1}{4} \).

\( x^2 – x = (x^2 – x + \frac{1}{4}) – \frac{1}{4} = (x – \frac{1}{2})^2 – \frac{1}{4} \)

• Với nhóm \( (2y^2 – 4y) \): Trước tiên, ta cần đặt thừa số 2 ra ngoài để hệ số của \( y^2 \) là 1.

\( 2y^2 – 4y = 2(y^2 – 2y) \)

Bên trong dấu ngoặc, ta hoàn thành bình phương cho \( (y^2 – 2y) \). Ta cần thêm \(( \frac{-2}{2} )^2 = (-1)^2 = 1\). Vậy ta thêm 1 và bớt 1.

\( 2(y^2 – 2y) = 2((y^2 – 2y + 1) – 1) \)

\( = 2((y – 1)^2 – 1) \)

\( = 2(y – 1)^2 – 2 \)

Bước 3: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương trở lại vào \( G \).

\( G = (x – \frac{1}{2})^2 – \frac{1}{4} + 2(y – 1)^2 – 2 + 3 \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức.

\( G = (x – \frac{1}{2})^2 + 2(y – 1)^2 – \frac{1}{4} – 2 + 3 \)

\( G = (x – \frac{1}{2})^2 + 2(y – 1)^2 + (- \frac{1}{4} + 1) \)

\( G = (x – \frac{1}{2})^2 + 2(y – 1)^2 + \frac{3}{4} \)

Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

• \( (x – \frac{1}{2})^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \).
• \( (y – 1)^2 \geq 0 \), suy ra \( 2(y – 1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( y \).

Do đó, \( (x – \frac{1}{2})^2 + 2(y – 1)^2 \geq 0 \).

Giá trị nhỏ nhất của \( G \) đạt được khi và chỉ khi cả hai bình phương đều bằng 0.

• \( (x – \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow x – \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)
• \( (y – 1)^2 = 0 \Rightarrow y – 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \)

Khi đó, \( G_{min} = 0 + 2(0) + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( G \) là \( \frac{3}{4} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = 1 \).

---

Chúc mừng các em đã hoàn thành các bài tập này! Qua các bài toán trên, các em đã rèn luyện được kỹ năng biến đổi biểu thức đại số, đặc biệt là phương pháp hoàn thành bình phương để tìm giá trị nhỏ nhất. Hãy luôn nhớ rằng, việc nắm vững các hằng đẳng thức và kiên nhẫn trong từng bước biến đổi là chìa khóa để giải quyết các dạng bài này một cách chính xác nhất!