Bài 1: Tứ giác ABCD có AB⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui vì được đồng hành cùng các em trong môn Toán. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học rất hay về đường trung bình của tam giác và tứ giác. Các em hãy lấy giấy bút ra và theo dõi thật kỹ từng bước nhé.

1. Phân tích bài toán và định hướng cách làm

Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là EG và FH, trong hình học lớp 8, phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất là gắn chúng vào các tam giác hoặc các hình đặc biệt (như hình chữ nhật, hình bình hành). Cụ thể trong bài này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác để liên hệ các đoạn thẳng này với cạnh vuông góc ban đầu là AB và CD.

2. Hướng dẫn chi tiết các bước giải

• Bước 1: Xét tam giác ABC
  • Ta có E là trung điểm của BC (theo giả thiết).
  • Ta có H là trung điểm của AC (theo giả thiết).
  • Do đó, EH chính là đường trung bình của tam giác ABC.
  • Theo tính chất đường trung bình, ta suy ra EH song song với AB và độ dài EH bằng một nửa độ dài AB (EH = 1/2 AB).
• Bước 2: Xét tam giác ABD
  • Ta có F là trung điểm của BD (theo giả thiết).
  • Ta có G là trung điểm của AD (theo giả thiết).
  • Do đó, FG chính là đường trung bình của tam giác ABD.
  • Theo tính chất đường trung bình, ta suy ra FG song song với AB và độ dài FG bằng một nửa độ dài AB (FG = 1/2 AB).
• Bước 3: Suy ra quan hệ giữa EH và FG
  • Từ hai bước trên, ta thấy cả EH và FG đều song song với AB và cùng bằng một nửa độ dài AB.
  • Từ đó suy ra EH song song với FG và EH bằng FG.
  • Xét tứ giác EFGH, vì có một cặp cạnh đối (EH và FG) vừa song song vừa bằng nhau nên tứ giác EFGH là hình bình hành.
• Bước 4: Xét tiếp các tam giác chứa đoạn EF và HG để hoàn thiện chứng minh
  • Xét tam giác BCD: Có E là trung điểm BC, F là trung điểm BD nên EF là đường trung bình. Suy ra EF song song với CD và EF = 1/2 CD.
  • Xét giả thiết đề bài cho AB vuông góc với CD.
  • Vì EH song song với AB và EF song song với CD, mà AB lại vuông góc với CD, nên góc giữa EH và EF là góc vuông.
  • Tứ giác EFGH vừa là hình bình hành lại vừa có một góc vuông nên EFGH là hình chữ nhật.
  • Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo luôn bằng nhau. Mà EG và FH chính là hai đường chéo của hình chữ nhật EFGH.
  • Vậy ta kết luận được EG bằng FH.

3. Lời khuyên của giáo viên

Các em hãy vẽ hình thật cẩn thận vào vở, ghi rõ giả thiết và kết luận. Khi làm bài hình học, việc nhớ và vận dụng thành thạo định lí về đường trung bình của tam giác là chìa khóa vàng giúp các em giải quyết rất nhiều bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Nếu còn chỗ nào chưa hiểu, các em có thể đặt câu hỏi để thầy/cô giảng lại nhé. Chúc các em học tập thật tốt!