Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hình học kết hợp với đại số rất thú vị. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Các em hãy đọc kỹ đề bài và suy nghĩ xem chúng ta sẽ giải quyết bài toán này như thế nào nhé.

Bài toán: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 34m. Nếu tăng chiều dài 3m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích giảm 25 m². Hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu?

Phân tích bài toán:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm rõ các thông tin đã cho và yêu cầu của đề bài:

• Khu vườn ban đầu là hình chữ nhật.
• Chu vi ban đầu: 34m.
• Thay đổi kích thước:
  • Chiều dài tăng 3m.
  • Chiều rộng giảm 2m.
• Hậu quả của việc thay đổi kích thước: Diện tích giảm 25 m².
• Yêu cầu: Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn.

Hướng dẫn vẽ hình (tưởng tượng):

Vì đây là bài toán tính toán, thầy sẽ hướng dẫn các em hình dung hoặc vẽ phác thảo vào vở để dễ hiểu hơn nhé:

1. Vẽ một hình chữ nhật tượng trưng cho khu vườn ban đầu. Gọi chiều dài là \(a\) và chiều rộng là \(b\).
2. Bên cạnh đó, vẽ một hình chữ nhật khác tượng trưng cho khu vườn sau khi thay đổi.
   • Chiều dài mới sẽ là \(a + 3\). Các em có thể vẽ kéo dài cạnh chiều dài ra một chút.
   • Chiều rộng mới sẽ là \(b – 2\). Các em có thể vẽ thu ngắn cạnh chiều rộng lại một chút.
3. Ghi chú diện tích ban đầu là \(S_1 = a \times b\) và diện tích mới là \(S_2 = (a+3) \times (b-2)\).
4. Mối quan hệ giữa hai diện tích này là \(S_1 – S_2 = 25\) m².

Việc vẽ hình giúp chúng ta có cái nhìn trực quan hơn về bài toán!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện.

Gọi chiều dài của mảnh vườn ban đầu là \(a\) (m).
Gọi chiều rộng của mảnh vườn ban đầu là \(b\) (m).

Điều kiện: \(a > 0\), \(b > 0\).
Vì chiều rộng giảm 2m, nên chiều rộng ban đầu phải lớn hơn 2m. Do đó, \(b > 2\).

Bước 2: Lập phương trình từ thông tin về chu vi.

Chu vi của mảnh vườn ban đầu là 34m, ta có phương trình:

\(2(a + b) = 34\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(a + b = 17\) (Phương trình 1)

Bước 3: Lập phương trình từ thông tin về diện tích.

Diện tích mảnh vườn ban đầu là: \(S_{ban\_đầu} = a \times b\) (m²)

Khi tăng chiều dài 3m và giảm chiều rộng 2m:

• Chiều dài mới là: \(a’ = a + 3\) (m)
• Chiều rộng mới là: \(b’ = b – 2\) (m)

Diện tích mảnh vườn sau khi thay đổi là: \(S_{mới} = (a + 3)(b – 2)\) (m²)

Theo đề bài, diện tích giảm 25 m², nghĩa là diện tích ban đầu lớn hơn diện tích mới 25 m². Ta có phương trình:

\(S_{ban\_đầu} – S_{mới} = 25\)

\(a \times b – (a + 3)(b – 2) = 25\)

Khai triển vế trái:

\(a \times b – (ab – 2a + 3b – 6) = 25\)

\(ab – ab + 2a – 3b + 6 = 25\)

\(2a – 3b + 6 = 25\)

Chuyển số 6 sang vế phải:

\(2a – 3b = 25 – 6\)

\(2a – 3b = 19\) (Phương trình 2)

Bước 4: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ phương trình gồm Phương trình 1 và Phương trình 2:

\( \begin{cases} a + b = 17 \quad (1) \\ 2a – 3b = 19 \quad (2) \end{cases} \)

Từ Phương trình (1), ta rút \(a\) theo \(b\):

\(a = 17 – b\)

Thế \(a = 17 – b\) vào Phương trình (2):

\(2(17 – b) – 3b = 19\)

\(34 – 2b – 3b = 19\)

\(34 – 5b = 19\)

\(5b = 34 – 19\)

\(5b = 15\)

\(b = \frac{15}{5}\)

\(b = 3\)

Sau khi tìm được \(b = 3\), ta thế giá trị của \(b\) vào Phương trình (1) để tìm \(a\):

\(a + 3 = 17\)

\(a = 17 – 3\)

\(a = 14\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ta tìm được \(a = 14\) (m) và \(b = 3\) (m).

Kiểm tra điều kiện: \(a = 14 > 0\) (thỏa mãn), \(b = 3 > 0\) (thỏa mãn), và \(b = 3 > 2\) (thỏa mãn).

Kiểm tra lại đề bài:

• Chu vi ban đầu: \(2(14 + 3) = 2 \times 17 = 34\) (m) (Đúng)
• Diện tích ban đầu: \(14 \times 3 = 42\) (m²)
• Chiều dài mới: \(14 + 3 = 17\) (m)
• Chiều rộng mới: \(3 – 2 = 1\) (m)
• Diện tích mới: \(17 \times 1 = 17\) (m²)
• Diện tích giảm: \(42 – 17 = 25\) (m²) (Đúng)

Vậy, các giá trị tìm được là chính xác.

Kết luận:

Chiều dài của mảnh vườn ban đầu là 14m.

Chiều rộng của mảnh vườn ban đầu là 3m.

Các em thấy đấy, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích đề bài, đặt ẩn phù hợp và lập hệ phương trình thì việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Hãy ôn tập kỹ dạng bài này nhé!