Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài tập quan trọng liên quan đến việc tính giá trị biểu thức và rút gọn biểu thức, đây là những kiến thức nền tảng trong chương trình đại số của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bài 10: Tính giá trị của biểu thức

Lời giải: Để tính giá trị của các biểu thức này một cách hiệu quả, chúng ta cần nhận diện các biểu thức dưới dạng hằng đẳng thức đáng nhớ. Điều này sẽ giúp việc thay số và tính toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

a) A = \( 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \) tại \( x = 5,5 \)

Ta nhận thấy biểu thức A có dạng của một lập phương của hiệu:

\( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Quan sát biểu thức \( 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \):

• \( 8x^3 = (2x)^3 \)
• \( -1 = (-1)^3 \)

Vậy ta dự đoán đây là lập phương của \( (2x – 1) \). Ta kiểm tra lại:

\( (2x – 1)^3 = (2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2x) \cdot 1^2 – 1^3 \)

\( = 8x^3 – 3 \cdot 4x^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1 – 1 \)

\( = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \)

Hoàn toàn chính xác! Vậy \( A = (2x – 1)^3 \).

Bây giờ, ta thay \( x = 5,5 \) vào biểu thức A:

\( A = (2 \cdot 5,5 – 1)^3 \)

\( A = (11 – 1)^3 \)

\( A = (10)^3 \)

\( A = 1000 \)

Vậy, giá trị của biểu thức A là 1000.

b) B = \( 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 \) tại \( x = -8/3 \)

Ta nhận thấy biểu thức B có dạng của một lập phương của tổng:

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Quan sát biểu thức \( 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 \):

• \( 27x^3 = (3x)^3 \)
• \( 8 = 2^3 \)

Vậy ta dự đoán đây là lập phương của \( (3x + 2) \). Ta kiểm tra lại:

\( (3x + 2)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 + 2^3 \)

\( = 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 \cdot 2 + 3 \cdot 3x \cdot 4 + 8 \)

\( = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 \)

Hoàn toàn chính xác! Vậy \( B = (3x + 2)^3 \).

Bây giờ, ta thay \( x = -8/3 \) vào biểu thức B:

\( B = \left( 3 \cdot \left( -\frac{8}{3} \right) + 2 \right)^3 \)

\( B = (-8 + 2)^3 \)

\( B = (-6)^3 \)

\( B = -216 \)

Vậy, giá trị của biểu thức B là -216.

c) C = \( x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3 \) tại \( x = 11; y = 5 \)

Tương tự như câu a, biểu thức C có dạng của một lập phương của hiệu:

\( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Quan sát biểu thức \( x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3 \):

• \( x^3 \)
• \( -8y^3 = (-2y)^3 \)

Vậy ta dự đoán đây là lập phương của \( (x – 2y) \). Ta kiểm tra lại:

\( (x – 2y)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 – (2y)^3 \)

\( = x^3 – 6x^2y + 3x \cdot 4y^2 – 8y^3 \)

\( = x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3 \)

Hoàn toàn chính xác! Vậy \( C = (x – 2y)^3 \).

Bây giờ, ta thay \( x = 11 \) và \( y = 5 \) vào biểu thức C:

\( C = (11 – 2 \cdot 5)^3 \)

\( C = (11 – 10)^3 \)

\( C = (1)^3 \)

\( C = 1 \)

Vậy, giá trị của biểu thức C là 1.

—

Bài 11: Rút gọn các biểu thức

Lời giải: Để rút gọn các biểu thức, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và các phép toán phân phối, gom các hạng tử đồng dạng.

a) \( (x + 2)^3 – (x + 1)^3 \)

Đây là dạng hiệu của hai lập phương \( a^3 – b^3 \) với \( a = (x + 2) \) và \( b = (x + 1) \).

Công thức: \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)

Áp dụng công thức:

• Tính \( a – b \):
  \( (x + 2) – (x + 1) = x + 2 – x – 1 = 1 \)
• Tính \( a^2 \):
  \( (x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4 \)
• Tính \( b^2 \):
  \( (x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1 \)
• Tính \( ab \):
  \( (x + 2)(x + 1) = x(x + 1) + 2(x + 1) = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2 \)

Bây giờ, thay vào công thức \( (a – b)(a^2 + ab + b^2) \):

\( 1 \cdot [(x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x + 1)] \)

\( = x^2 + 4x + 4 + x^2 + 3x + 2 + x^2 + 2x + 1 \)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\( = (x^2 + x^2 + x^2) + (4x + 3x + 2x) + (4 + 2 + 1) \)

\( = 3x^2 + 9x + 7 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( 3x^2 + 9x + 7 \).

b) \( (x – 3)^3 – x(x – 3)^2 \)

Chúng ta nhận thấy cả hai số hạng đều có thừa số chung là \( (x – 3)^2 \). Ta sẽ đặt thừa số chung này ra ngoài:

\( (x – 3)^2 \cdot (x – 3) – x \cdot (x – 3)^2 \)

\( = (x – 3)^2 \cdot [(x – 3) – x] \)

Rút gọn phần trong ngoặc vuông:

\( (x – 3) – x = x – 3 – x = -3 \)

Vậy biểu thức trở thành:

\( = (x – 3)^2 \cdot (-3) \)

\( = -3(x – 3)^2 \)

Khai triển \( (x – 3)^2 \):

\( (x – 3)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9 \)

Vậy biểu thức cuối cùng là:

\( = -3(x^2 – 6x + 9) \)

\( = -3x^2 + 18x – 27 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( -3x^2 + 18x – 27 \).

c) \( (x + 1)^3 – x^2(x + 1) – 2x(x + 2) \)

Chúng ta sẽ khai triển từng phần của biểu thức và sau đó gom các hạng tử đồng dạng.

• Khai triển \( (x + 1)^3 \):
  \( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)
• Khai triển \( -x^2(x + 1) \):
  \( -x^2(x + 1) = -x^2 \cdot x – x^2 \cdot 1 = -x^3 – x^2 \)
• Khai triển \( -2x(x + 2) \):
  \( -2x(x + 2) = -2x \cdot x – 2x \cdot 2 = -2x^2 – 4x \)

Bây giờ, ta cộng tất cả các phần đã khai triển lại:

\( (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (-x^3 – x^2) + (-2x^2 – 4x) \)

\( = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 – x^2 – 2x^2 – 4x \)

Gom các hạng tử đồng dạng:

• Hạng tử bậc 3: \( x^3 – x^3 = 0 \)
• Hạng tử bậc 2: \( 3x^2 – x^2 – 2x^2 = 3x^2 – 3x^2 = 0 \)
• Hạng tử bậc 1: \( 3x – 4x = -x \)
• Hạng tử tự do: \( 1 \)

Vậy biểu thức rút gọn là:

\( = 0 + 0 – x + 1 \)

\( = 1 – x \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( 1 – x \).

Các em thấy đấy, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác hơn rất nhiều. Hãy ôn tập thật kỹ phần này nhé!