Rất vui được hướng dẫn các em giải hai bài toán lượng giác này. Đây là những dạng bài khá hay và thường xuất hiện trong các đề thi, yêu cầu chúng ta nắm vững các công thức biến đổi lượng giác. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 11. Tính:

A = cos20° cos 40° cos 60° cos 80°.

Lời giải bài A:

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và công thức nhân đôi.

Đầu tiên, chúng ta nhận thấy có một giá trị đặc biệt là \( \cos 60^\circ \).

Ta có: \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Vậy, biểu thức A có thể viết lại thành:

\( A = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 80^\circ \)

\( A = \frac{1}{2} (\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ) \)

Bây giờ, chúng ta cần tính giá trị của \( P = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \).

Chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật quen thuộc là nhân thêm \( \sin x \) vào để áp dụng công thức nhân đôi: \( 2 \sin x \cos x = \sin 2x \).

Nhân cả tử và mẫu của P với \( 2 \sin 20^\circ \) (hoặc nhân P với \( \sin 20^\circ \) rồi chia lại cho \( \sin 20^\circ \), và nhân thêm hệ số 2 để tạo thành công thức nhân đôi).

\( P = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \)

\( P = \frac{1}{2 \sin 20^\circ} (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ \)

Áp dụng công thức \( 2 \sin x \cos x = \sin 2x \), ta có \( 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin (2 \cdot 20^\circ) = \sin 40^\circ \).

\( P = \frac{1}{2 \sin 20^\circ} (\sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cos 80^\circ \)

Tiếp tục áp dụng công thức nhân đôi cho \( \sin 40^\circ \cos 40^\circ \):

\( \sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ) = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 40^\circ) = \frac{1}{2} \sin 80^\circ \).

Thay vào biểu thức của P:

\( P = \frac{1}{2 \sin 20^\circ} \left( \frac{1}{2} \sin 80^\circ \right) \cos 80^\circ \)

\( P = \frac{1}{4 \sin 20^\circ} (\sin 80^\circ \cos 80^\circ) \)

Lại áp dụng công thức nhân đôi cho \( \sin 80^\circ \cos 80^\circ \):

\( \sin 80^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2} (2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ) = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 80^\circ) = \frac{1}{2} \sin 160^\circ \).

Thay vào biểu thức của P:

\( P = \frac{1}{4 \sin 20^\circ} \left( \frac{1}{2} \sin 160^\circ \right) \)

\( P = \frac{1}{8 \sin 20^\circ} \sin 160^\circ \)

Bây giờ, chúng ta cần biến đổi \( \sin 160^\circ \). Ta biết rằng \( \sin (180^\circ – \alpha) = \sin \alpha \).

Vậy, \( \sin 160^\circ = \sin (180^\circ – 20^\circ) = \sin 20^\circ \).

Thay vào biểu thức của P:

\( P = \frac{1}{8 \sin 20^\circ} \cdot \sin 20^\circ \)

\( P = \frac{1}{8} \)

Cuối cùng, thay giá trị của P vào biểu thức của A:

\( A = \frac{1}{2} \cdot P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16} \).

Vậy, giá trị của biểu thức A là:

\( \mathbf{A = \frac{1}{16}} \)

B = sin6° sin 42° sin 66° sin 78°

Lời giải bài B:

Đối với bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một công thức đặc biệt cho các tích của sin khi các góc có mối liên hệ với \( 60^\circ \).

Công thức đó là: \( \sin \theta \sin (60^\circ – \theta) \sin (60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin (3\theta) \).

Chúng ta hãy phân tích các góc trong biểu thức B:

\( \sin 6^\circ \)

\( \sin 42^\circ = \sin (60^\circ – 18^\circ) \)

\( \sin 66^\circ = \sin (60^\circ + 6^\circ) \)

\( \sin 78^\circ = \sin (60^\circ + 18^\circ) \)

Để áp dụng công thức trên, chúng ta cần nhóm các số hạng lại. Ta thấy có hai nhóm góc tiềm năng:

Nhóm 1: Với \( \theta = 6^\circ \), ta có \( \sin 6^\circ \) và \( \sin (60^\circ + 6^\circ) = \sin 66^\circ \). Chúng ta đang thiếu \( \sin (60^\circ – 6^\circ) = \sin 54^\circ \).

Nhóm 2: Với \( \theta = 18^\circ \), ta có \( \sin (60^\circ – 18^\circ) = \sin 42^\circ \) và \( \sin (60^\circ + 18^\circ) = \sin 78^\circ \). Chúng ta đang thiếu \( \sin 18^\circ \).

Để làm cho công thức có thể áp dụng được, chúng ta sẽ nhân và chia biểu thức B với \( \sin 18^\circ \) và \( \sin 54^\circ \).

\( B = \sin 6^\circ \sin 42^\circ \sin 66^\circ \sin 78^\circ \)

Nhân tử và mẫu với \( \sin 18^\circ \sin 54^\circ \):

\( B = \frac{1}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \cdot (\sin 6^\circ \sin 42^\circ \sin 66^\circ \sin 78^\circ \sin 18^\circ \sin 54^\circ) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ sắp xếp lại các số hạng trong tử số để tạo thành các nhóm áp dụng công thức:

\( B = \frac{1}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \cdot (\sin 6^\circ \sin 54^\circ \sin 66^\circ) \cdot (\sin 18^\circ \sin 42^\circ \sin 78^\circ) \)

Áp dụng công thức \( \sin \theta \sin (60^\circ – \theta) \sin (60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin (3\theta) \) cho từng nhóm:

Với nhóm thứ nhất: \( \sin 6^\circ \sin 54^\circ \sin 66^\circ \)

Chọn \( \theta = 6^\circ \). Ta có \( \sin (60^\circ – 6^\circ) = \sin 54^\circ \) và \( \sin (60^\circ + 6^\circ) = \sin 66^\circ \).

Vậy, \( \sin 6^\circ \sin 54^\circ \sin 66^\circ = \frac{1}{4} \sin (3 \cdot 6^\circ) = \frac{1}{4} \sin 18^\circ \).

Với nhóm thứ hai: \( \sin 18^\circ \sin 42^\circ \sin 78^\circ \)

Chọn \( \theta = 18^\circ \). Ta có \( \sin (60^\circ – 18^\circ) = \sin 42^\circ \) và \( \sin (60^\circ + 18^\circ) = \sin 78^\circ \).

Vậy, \( \sin 18^\circ \sin 42^\circ \sin 78^\circ = \frac{1}{4} \sin (3 \cdot 18^\circ) = \frac{1}{4} \sin 54^\circ \).

Bây giờ, thay kết quả của hai nhóm trở lại biểu thức B:

\( B = \frac{1}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \cdot \left( \frac{1}{4} \sin 18^\circ \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \sin 54^\circ \right) \)

\( B = \frac{1}{16} \cdot \frac{\sin 18^\circ \sin 54^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \)

Vì \( \sin 18^\circ \ne 0 \) và \( \sin 54^\circ \ne 0 \), ta có thể rút gọn:

\( B = \frac{1}{16} \cdot 1 \)

\( B = \frac{1}{16} \)

Vậy, giá trị của biểu thức B là:

\( \mathbf{B = \frac{1}{16}} \)

Hy vọng phần hướng dẫn chi tiết này giúp các em hiểu rõ cách giải hai bài toán trên. Hãy nhớ luyện tập thêm để thành thạo các công thức và kỹ thuật biến đổi lượng giác nhé! Chúc các em học tốt!