Bài 12. Cho ∆ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M, N lần lượt…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui vì các em đã gửi câu hỏi về cho chuyên mục Hình học 8. Đây là một bài toán rất hay và điển hình về phần Tam giác đồng dạng. Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau từng bước chinh phục bài toán này nhé.

PHẦN 1: HƯỚNG DẪN VẼ HÌNH VÀ CHỨNG MINH

Trước hết, chúng ta cần hình dung cách vẽ hình chính xác để không bị nhầm lẫn:

• Vẽ tam giác ABC vuông tại A.
• Lấy một điểm D bất kỳ nằm trên cạnh huyền BC.
• Từ điểm D, em vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AB tại điểm M. (Do tam giác ABC vuông tại A, nên AC song song với DM vì cùng vuông góc với AB).
• Từ điểm D, em vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AC tại điểm N. (Tương tự, AB song song với DN).

Câu a: Chứng minh tam giác vuông DBM đồng dạng với tam giác vuông ABC, tam giác vuông DCN đồng dạng với tam giác vuông CAB, và suy ra đẳng thức BM.CN = DM.DN

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta thường dùng trường hợp góc – góc (g.g):

• Chứng minh tam giác DBM đồng dạng với tam giác CAB:
  
  Xét tam giác DBM (vuông tại M vì DM vuông góc với AB) và tam giác CAB (vuông tại A).
  
  Ta có góc B là góc chung của hai tam giác.
  
  Do đó, tam giác DBM đồng dạng với tam giác CAB (theo trường hợp góc – góc).
• Chứng minh tam giác DCN đồng dạng với tam giác CBA:
  
  Xét tam giác DCN (vuông tại N vì DN vuông góc với AC) và tam giác CBA (vuông tại A).
  
  Ta có góc C là góc chung của hai tam giác.
  
  Do đó, tam giác DCN đồng dạng với tam giác CBA (theo trường hợp góc – góc).
• Suy ra hệ thức BM.CN = DM.DN:
  
  Từ tính chất tam giác đồng dạng ở trên, ta viết tỉ số đồng dạng tương ứng:
  
  Vì tam giác DBM đồng dạng với tam giác CAB, ta suy ra tỉ số: BM chia cho CA bằng với DM chia cho AB. Từ đây nhân chéo ta có: BM nhân AB bằng CA nhân DM.
  
  Vì tam giác DCN đồng dạng với tam giác CBA, ta suy ra tỉ số: CN chia cho BA bằng với DN chia cho CA. Từ đây nhân chéo ta có: CN nhân AC bằng BA nhân DN.
  
  Mặt khác, tứ giác AMDN có ba góc vuông (góc A bằng góc M bằng góc nên AMDN là hình chữ nhật. Do đó ta có các cạnh đối bằng nhau: DM bằng AN và DN bằng AM.
  
  Kết hợp các tỉ lệ trên, khi nhân vế với vế, ta sẽ thu được điều phải chứng minh là BM nhân CN bằng DM nhân DN.

PHẦN 2: TÍNH TOÁN ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

Câu b: Cho AB = 3cm, AC = 4cm, DB = 3cm. Tính độ dài đoạn thẳng BM.

Chúng ta sẽ giải quyết câu này bằng định lý Pytago kết hợp với tỉ số đồng dạng đã chứng minh ở câu a:

• Bước 1: Tính độ dài cạnh huyền BC.
  
  Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:
  
  Bình phương cạnh BC bằng bình phương cạnh AB cộng bình phương cạnh AC.
  
  Thay số vào: BC bình phương bằng 3 bình phương cộng 4 bình phương bằng 9 cộng 16 bằng 25.
  
  Suy ra độ dài cạnh BC bằng căn bậc hai của 25, tức là bằng 5 cm.
• Bước 2: Tính đoạn DC.
  
  Vì điểm D thuộc cạnh BC nên ta có độ dài đoạn DC bằng tổng độ dài BC trừ đi đoạn DB.
  
  Thay số vào: DC bằng 5 trừ đi 3 bằng 2 cm.
• Bước 3: Tính độ dài BM.
  
  Ở câu a, chúng ta đã chứng minh tam giác DBM đồng dạng với tam giác CAB.
  
  Từ độ đồng dạng này, ta viết tỉ số: Đoạn BM chia cho đoạn CA bằng với đoạn DB chia cho đoạn CB.
  
  Bây giờ, chúng ta thay các số đã biết vào tỉ số trên:
  
  BM chia cho 4 bằng với 3 chia cho 5.
  
  Từ đó, ta tính được BM bằng 3 nhân 4 rồi chia cho 5.
  
  Kết quả là: BM bằng 12 chia cho 5, bằng 2,4 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng BM cần tìm là 2,4 cm các em nhé!

Thầy/cô chúc các em học tập thật tốt, luôn kiên trì và đạt kết quả cao trong môn Toán. Nếu còn câu hỏi nào chưa rõ, đừng ngần ngại gửi cho thầy/cô nha!