Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về đoạn thẳng và vị trí của điểm trên đoạn thẳng. Bài toán này sẽ giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng tư duy logic và áp dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng.

Bài 13.1: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm giữa A và B. Xác định vị trí của điểm M để \( AM + AB = 3 \times MB \).

Trước tiên, chúng ta hãy cùng phân tích đề bài.

Chúng ta có một đoạn thẳng AB.

Điểm M nằm giữa A và B. Điều này có nghĩa là điểm M nằm trên đoạn thẳng AB và A, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó.

Từ giả thiết M nằm giữa A và B, chúng ta suy ra mối quan hệ giữa các độ dài:

\( AM + MB = AB \)

Đây là một tính chất quan trọng mà chúng ta sẽ sử dụng để giải bài toán.

Bây giờ, chúng ta xem xét điều kiện của bài toán:

\( AM + AB = 3 \times MB \)

Mục tiêu của chúng ta là tìm xem điểm M nằm ở đâu trên đoạn thẳng AB, tức là chúng ta cần xác định tỉ lệ độ dài AM so với AB, hoặc MB so với AB, hoặc AM so với MB.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế để đưa về một ẩn số. Vì chúng ta biết mối quan hệ giữa AM, MB và AB, chúng ta có thể thay thế một trong các đại lượng này trong phương trình điều kiện.

Ở đây, chúng ta có đại lượng AB xuất hiện trong cả hai mối quan hệ. Chúng ta hãy thử thay thế AB trong phương trình điều kiện bằng biểu thức của nó từ tính chất M nằm giữa A và B.

Ta có phương trình điều kiện là:

\( AM + AB = 3 \times MB \)

Thay \( AB = AM + MB \) vào phương trình trên, ta được:

\( AM + (AM + MB) = 3 \times MB \)

Bây giờ, chúng ta cùng đơn giản hóa phương trình này:

\( AM + AM + MB = 3 \times MB \)

\( 2 \times AM + MB = 3 \times MB \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển các số hạng chứa MB về một vế để tìm mối quan hệ giữa AM và MB.

\( 2 \times AM = 3 \times MB – MB \)

\( 2 \times AM = 2 \times MB \)

Từ đây, chúng ta có thể dễ dàng suy ra:

\( AM = MB \)

Điều này có nghĩa là độ dài đoạn thẳng AM bằng với độ dài đoạn thẳng MB.

Vậy, điểm M nằm ở đâu trên đoạn thẳng AB để thỏa mãn điều kiện trên?

Khi AM = MB, điều này có nghĩa là điểm M chia đoạn thẳng AB thành hai phần bằng nhau.

Chúng ta cũng có thể kiểm tra lại điều kiện ban đầu với kết quả \( AM = MB \).

Nếu \( AM = MB \), thì \( AB = AM + MB = AM + AM = 2 \times AM \).

Ta thay vào điều kiện \( AM + AB = 3 \times MB \):

\( AM + (2 \times AM) = 3 \times AM \)

Và vế phải là \( 3 \times MB = 3 \times AM \).

Vậy, \( 3 \times AM = 3 \times AM \), điều này đúng.

Kết luận: Để \( AM + AB = 3 \times MB \), điểm M phải là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Nói cách khác, vị trí của điểm M là sao cho AM bằng MB.

Các em thấy đó, chỉ cần áp dụng đúng tính chất của đoạn thẳng và khéo léo sử dụng phương pháp thế, chúng ta đã giải quyết được bài toán. Các em hãy ghi nhớ cách phân tích đề bài và các bước giải này để áp dụng cho những bài toán tương tự nhé!

Có bạn nào có câu hỏi nào về bài giải này không?