Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị liên quan đến hình học và tối ưu hóa. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi hoặc nâng cao, giúp các em rèn luyện tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức.

Bài 14: Từ một tờ giấy hình tròn bán kính R ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Chúng ta cùng phân tích bài toán nhé!

1. Phân tích và Thiết lập mô hình bài toán:

Để một hình chữ nhật có thể cắt ra từ một tờ giấy hình tròn và có diện tích lớn nhất, hình chữ nhật đó phải được nội tiếp trong đường tròn. Điều này có nghĩa là các đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường tròn.

Khi một hình chữ nhật nội tiếp trong một đường tròn, đường chéo của hình chữ nhật chính là đường kính của đường tròn. Đây là một tính chất quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ!

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \(x\) và chiều rộng của hình chữ nhật là \(y\).

Bán kính của hình tròn là \(R\). Vậy đường kính của hình tròn là \(2R\).

Theo định lý Pythagoras trong một tam giác vuông được tạo bởi hai cạnh của hình chữ nhật và đường chéo của nó, ta có mối quan hệ:

\(x^2 + y^2 = (2R)^2\)

\(x^2 + y^2 = 4R^2\) (Đây là điều kiện ràng buộc của bài toán)

Mục tiêu của chúng ta là tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật. Diện tích \(A\) của hình chữ nhật được tính bằng công thức:

\(A = x \cdot y\) (Đây là hàm mục tiêu cần tối ưu)

2. Tìm diện tích lớn nhất:

Từ điều kiện ràng buộc \(x^2 + y^2 = 4R^2\), ta có thể biểu diễn \(y^2\) theo \(x^2\):

\(y^2 = 4R^2 – x^2\)

Vì \(x\) và \(y\) là độ dài các cạnh, chúng phải là số dương. Do đó, \(0 < x < 2R\) và \(0 < y < 2R\).

Để tối đa hóa \(A = x \cdot y\), chúng ta có thể tối đa hóa bình phương của diện tích, tức là \(A^2 = (x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2\). Việc này thường đơn giản hơn và cho cùng kết quả về giá trị \(x, y\) tối ưu.

Thay \(y^2 = 4R^2 – x^2\) vào biểu thức của \(A^2\):

\(A^2 = x^2 (4R^2 – x^2)\)

Để tiện tính toán, ta có thể đặt \(k = x^2\). Khi đó, \(A^2\) trở thành một hàm bậc hai theo \(k\):

\(A^2 = k (4R^2 – k)\)

\(A^2 = 4R^2 k – k^2\)

Đây là một hàm bậc hai có dạng \(f(k) = -k^2 + 4R^2 k\). Đồ thị của hàm này là một parabol quay bề lõm xuống dưới, nên nó có một giá trị cực đại.

Giá trị cực đại của hàm số \(ax^2 + bx + c\) xảy ra tại \(x = -\frac{b}{2a}\). Trong trường hợp của chúng ta, \(a = -1\) và \(b = 4R^2\).

Vậy, giá trị \(k\) để \(A^2\) đạt cực đại là:

\(k = -\frac{4R^2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4R^2}{-2} = 2R^2\)

Vì \(k = x^2\), ta có \(x^2 = 2R^2\).

Từ đó, suy ra \(x = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\) (vì \(x > 0\)).

Bây giờ, chúng ta tìm \(y\):

\(y^2 = 4R^2 – x^2 = 4R^2 – 2R^2 = 2R^2\)

Suy ra \(y = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\) (vì \(y > 0\)).

Ta thấy rằng \(x = R\sqrt{2}\) và \(y = R\sqrt{2}\). Điều này có nghĩa là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật bằng nhau, tức là hình chữ nhật có diện tích lớn nhất chính là một hình vuông.

Cuối cùng, chúng ta tính diện tích lớn nhất \(A_{max}\):

\(A_{max} = x \cdot y = (R\sqrt{2}) \cdot (R\sqrt{2})\)

\(A_{max} = R^2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})\)

\(A_{max} = R^2 \cdot 2\)

\(A_{max} = 2R^2\)

3. Kết luận:

Vậy, từ một tờ giấy hình tròn bán kính \(R\), ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là \(2R^2\). Hình chữ nhật này chính là một hình vuông có cạnh bằng \(R\sqrt{2}\).

Các em nhớ nhé, bài toán tối ưu hóa này cho chúng ta thấy rằng trong nhiều trường hợp, hình có tính đối xứng cao (như hình vuông) thường mang lại giá trị cực đại hoặc cực tiểu cho một đại lượng nào đó.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!