Bài 16. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, từ M kẻ…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên mục giải bài tập Hình học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải chi tiết Bài 16 về hình bình hành nhé.

Hướng dẫn phân tích bài toán:

Trước khi bắt đầu, các em hãy vẽ một hình bình hành ABCD thật chuẩn vào vở. Nhớ đánh dấu các điểm M, N, I theo đúng giả thiết của đề bài. Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu.

a) Chứng minh tứ giác AMND là hình bình hành

• Theo giả thiết, ta có tứ giác ABCD là hình bình hành nên cạnh đối AD song song với cạnh đối BC. Mà điểm N thuộc đoạn thẳng CD, do đó AD song song với đoạn thẳng NC.
• Mặt khác, theo đề bài ta có MN song song với AD.
• Xét tứ giác AMND, ta thấy có cặp cạnh đối AM song song với DN (vì M thuộc AB, N thuộc CD và AB song song với CD của hình bình hành ABCD).
• Tứ giác AMND lại có thêm cặp cạnh đối thứ hai là MN song song với AD (theo giả thiết).
• Theo dấu hiệu nhận biết, một tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau thì tứ giác đó là hình bình hành. Vậy tứ giác AMND là hình bình hành. (Điều phải chứng minh).

b) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành

• Để chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành, chúng ta có thể sử dụng dấu hiệu về cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
• Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên cạnh AB song song với cạnh CD, do đó đoạn thẳng MB song song với đoạn thẳng ND.
• Mặt khác, ta có độ dài đoạn thẳng MB bằng một nửa độ dài cạnh AB (vì M là trung điểm của AB). Tương tự, độ dài đoạn thẳng ND bằng một nửa độ dài cạnh CD (vì tứ giác AMND vừa chứng minh là hình bình hành nên AM bằng DN, mà AM bằng một nửa AB nên DN bằng một nửa CD).
• Hơn nữa, AB bằng CD (tính chất hình bình hành), nên ta suy ra đoạn thẳng MB bằng đoạn thẳng ND.
• Xét tứ giác MBND, ta có MB song song với ND và MB bằng ND.
• Theo dấu hiệu nhận biết, một tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành. Vậy tứ giác MBND là hình bình hành. (Điều phải chứng minh).

c) Chứng minh I là trung điểm của AC

• Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD.
• Xét tứ giác MBND đã được chứng minh là hình bình hành ở câu b, ta có hai đường chéo của nó là MN và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Theo giả thiết, I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Do đó, điểm I chính là giao điểm của hai đường chéo MN và BD của hình bình hành MBND. Điều này suy ra điểm I phải nằm trên đường chéo BD.
• Vì điểm I nằm trên đường chéo BD và O cũng nằm trên đường chéo BD (thực chất I và O trùng nhau), mà O là trung điểm của AC, nên điểm I cũng chính là trung điểm của đoạn thẳng AC.
• Kết luận: I là trung điểm của AC. (Điều phải chứng minh).

Lời khuyên dành cho học sinh: Hình học lớp 8 đòi hỏi các em phải nắm rất vững các định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình bình hành. Hãy luyện tập vẽ hình thật cẩn thận và trình bày các bước suy luận chặt chẽ có chữ “vì”, “nên” nhé. Chúc các em học tập thật tốt!