Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về chuyển động trên dòng nước rất thú vị. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Bài 16: Một ca nô xuôi dòng từ A đến bến B mất 1 giờ và ngược từ B về A mất 9 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/giờ.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ lại các công thức về vận tốc, quãng đường, thời gian và cách xác định vận tốc khi xuôi dòng, ngược dòng.

Phân tích bài toán và đặt ẩn:

Đầu tiên, chúng ta hãy gọi các đại lượng cần tìm và đã biết:

• Gọi \(S\) là khoảng cách giữa hai bến A và B (đơn vị: km). Đây chính là đại lượng chúng ta cần tìm.
• Gọi \(v_{ca\ n\hat{o}}\) là vận tốc thực của ca nô khi nước lặng (đơn vị: km/giờ). Chúng ta chưa biết giá trị này.
• Vận tốc của dòng nước đã cho là \(v_{n\u{ớ}c} = 3\) km/giờ.

Các công thức cần nhớ:

• Vận tốc xuôi dòng: \(v_{xu\hat{o}i} = v_{ca\ n\hat{o}} + v_{n\u{ớ}c}\)
• Vận tốc ngược dòng: \(v_{ng\u{ư}\d{o}c} = v_{ca\ n\hat{o}} – v_{n\u{ớ}c}\)
• Công thức quãng đường: \(S = v \times t\) (vận tốc nhân thời gian)

Thiết lập các phương trình từ dữ kiện bài toán:

1. Khi ca nô xuôi dòng từ A đến B:

• Thời gian xuôi dòng: \(t_{xu\hat{o}i} = 1\) giờ.
• Vận tốc xuôi dòng: \(v_{xu\hat{o}i} = v_{ca\ n\hat{o}} + 3\) (km/giờ).
• Quãng đường xuôi dòng: \(S = v_{xu\hat{o}i} \times t_{xu\hat{o}i}\)
• Thay số vào, ta có phương trình thứ nhất:
  \(S = (v_{ca\ n\hat{o}} + 3) \times 1\)
  \(S = v_{ca\ n\hat{o}} + 3\) (1)

2. Khi ca nô ngược dòng từ B về A:

• Thời gian ngược dòng: \(t_{ng\u{ư}\d{o}c} = 9\) giờ.
• Vận tốc ngược dòng: \(v_{ng\u{ư}\d{o}c} = v_{ca\ n\hat{o}} – 3\) (km/giờ).
• Quãng đường ngược dòng: \(S = v_{ng\u{ư}\d{o}c} \times t_{ng\u{ư}\d{o}c}\)
• Thay số vào, ta có phương trình thứ hai:
  \(S = (v_{ca\ n\hat{o}} – 3) \times 9\)
  \(S = 9 \times v_{ca\ n\hat{o}} – 27\) (2)

Giải hệ phương trình:

Vì khoảng cách \(S\) giữa hai bến A và B là không đổi, nên chúng ta có thể cho hai biểu thức của \(S\) ở phương trình (1) và (2) bằng nhau:

\(v_{ca\ n\hat{o}} + 3 = 9 \times v_{ca\ n\hat{o}} – 27\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(v_{ca\ n\hat{o}}\):

• Chuyển các số hạng chứa \(v_{ca\ n\hat{o}}\) về một vế và các hằng số về vế kia:
  \(3 + 27 = 9 \times v_{ca\ n\hat{o}} – v_{ca\ n\hat{o}}\)
• Thực hiện phép tính:
  \(30 = 8 \times v_{ca\ n\hat{o}}\)
• Tìm \(v_{ca\ n\hat{o}}\):
  \(v_{ca\ n\hat{o}} = \frac{30}{8}\)
  \(v_{ca\ n\hat{o}} = \frac{15}{4}\)
  \(v_{ca\ n\hat{o}} = 3.75\) (km/giờ)

Vậy, vận tốc thực của ca nô khi nước lặng là 3.75 km/giờ.

Tính khoảng cách giữa hai bến A và B:

Sau khi tìm được \(v_{ca\ n\hat{o}}\), chúng ta có thể thay giá trị này vào một trong hai phương trình (1) hoặc (2) để tìm \(S\). Chúng ta sẽ chọn phương trình (1) vì nó đơn giản hơn:

\(S = v_{ca\ n\hat{o}} + 3\)

Thay \(v_{ca\ n\hat{o}} = 3.75\) vào:

\(S = 3.75 + 3\)

\(S = 6.75\) (km)

Để kiểm tra lại, chúng ta có thể thay vào phương trình (2) nữa:

\(S = 9 \times (v_{ca\ n\hat{o}} – 3)\)

\(S = 9 \times (3.75 – 3)\)

\(S = 9 \times 0.75\)

\(S = 6.75\) (km)

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả, vậy đáp án của chúng ta là chính xác!

Kết luận:

Vậy, khoảng cách giữa hai bến A và B là 6.75 km.

Các em nhớ nhé, đối với dạng toán chuyển động trên dòng nước, việc xác định đúng vận tốc xuôi dòng và ngược dòng là chìa khóa để giải bài toán thành công. Chúc các em học tốt!