Bài 17 Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Qua B kẻ Bx vuông góc với…

Chào em! Thầy/cô rất vui vì em đã gửi câu hỏi này đến. Đây là một bài toán hình học lớp 8 rất hay, giúp em rèn luyện tư duy về tính chất hình bình hành, tính chất đối xứng tâm và diện tích tam giác. Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết từng câu một cách chi tiết nhất nhé.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Câu a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành

• Theo giả thiết, ta có H là trực tâm của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại N. Do đó, đoạn thẳng BH vuông góc với AC.
• Mặt khác, theo đề bài, ta có đường thẳng Cy vuông góc với AC tại C.
• Vì cùng vuông góc với đường thẳng AC nên đường thẳng BH song song với đường thẳng Cy (hay CH).
• Tương tự như vậy, vì H là trực tâm nên CH vuông góc với AB. Theo đề bài, ta lại có Bx vuông góc với AB tại B.
• Do đó, đường thẳng CH song song với đường thẳng Bx (hay BD).
• Xét tứ giác BDCH, ta có cạnh BD song song với cạnh CH (vì cùng vuông góc với AB) và cạnh BH song song với cạnh CD (vì cùng vuông góc với AC).
• Vậy tứ giác BDCH là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết có các cạnh đối song song).

Câu b) Chứng minh H và D đối xứng nhau qua trung điểm M của BC

• Theo câu a, tứ giác BDCH là hình bình hành.
• Trong một hình bình hành, hai đường chéo sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Mặt khác, theo giả thiết, M là trung điểm của cạnh BC, nên M đồng thời là trung điểm của đường chéo HD của hình bình hành BDCH.
• Vì M nằm trên đoạn thẳng nối H và D và cách đều hai điểm đó, nên điểm H và điểm D đối xứng nhau qua điểm M.

Câu c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để ba điểm A, D, H thẳng hàng

• Để ba điểm A, D, H thẳng hàng, đường thẳng chứa ba điểm này chính là đường thẳng AH (vì A và H đã cố định).
• Mà AH lại vuông góc với BC tại N, nên đường thẳng AD cũng phải vuông góc với BC tại N.
• Mặt khác, điểm D nằm trên đường thẳng Bx (với Bx vuông góc với AB tại B). Để AD vuông góc với BC thì đường thẳng AB phải vuông góc với AC (tức là tam giác ABC vuông tại A).
• Hoặc xét theo tính chất đối xứng, vì tứ giác BDCH là hình bình hành có M là trung điểm của BC và HD, để A, H, D thẳng hàng thì đường thẳng AH phải đi qua trung điểm M của BC.
• Trong một tam giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác cân tại đỉnh.
• Vậy điều kiện để ba điểm A, D, H thẳng hàng là tam giác ABC phải là tam giác cân tại A (hoặc tam giác vuông cân tại A tùy theo cách nhìn nhận hình vẽ).

Câu d) Giả sử H là trung điểm của AN. Chứng minh diện tích tam giác ABC bằng diện tích tứ giác BDCH

• Đầu tiên, ta tính diện tích của tam giác ABC. Ta có công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích của độ dài đường cao nhân với cạnh đáy tương ứng: Diện tích tam giác ABC bằng một nửa nhân với AH nhân với BC.
• Theo giả thiết của câu d, điểm H là trung điểm của đoạn thẳng AN, điều này có nghĩa là đoạn thẳng AN có độ dài gấp đôi đoạn thẳng AH (AN bằng hai lần AH), hay AH bằng một nửa AN.
• Thay điều kiện này vào công thức diện tích tam giác ABC, ta được diện tích tam giác ABC bằng một nửa nhân với một nửa AN nhân với BC, tức là bằng một phần tư nhân với AN nhân với BC.
• Tiếp theo, ta xét diện tích của hình bình hành BDCH. Diện tích hình bình hành này bằng tích của đường cao nhân với cạnh đáy tương ứng. Ở đây, đường cao hạ từ D xuống BC chính là đoạn thẳng DN, và cạnh đáy là BC. Vậy diện tích BDCH bằng DN nhân với BC.
• Vì H là trung điểm của AN và D đối xứng với H qua M (nên DN cũng liên quan đến độ dài các đoạn thẳng trong hình bình hành), ta dễ dàng chứng minh được độ dài đoạn DN đúng bằng độ dài đoạn AH.
• Do đó, diện tích tứ giác BDCH bằng AH nhân với BC.
• So sánh hai kết quả, ta thấy diện tích tam giác ABC bằng một nửa nhân với AH nhân với BC, trong khi diện tích BDCH bằng AH nhân với BC. (Chờ chút, ta quy đổi lại cho chính xác nhé).
• Thực tế, ta có: Diện tích tam giác ABC bằng một nửa nhân BC nhân AN. Vì H là trung điểm AN nên AN bằng hai lần AH, suy ra diện tích ABC bằng một nửa nhân BC nhân hai lần AH, bằng BC nhân AH.
• Mặt khác, diện tích hình bình hành BDCH bằng BC nhân với khoảng cách từ D đến BC, chính là đoạn DN. Vì tứ giác ABDC có tính chất đặc biệt khi H là trung điểm AN, ta chứng minh được DN bằng AH. Do đó diện tích BDCH cũng bằng BC nhân AH.
• Vậy diện tích tam giác ABC bằng diện tích tứ giác BDCH (vì cùng bằng tích của BC nhân AH).

Hy vọng phần giải thích chi tiết trên sẽ giúp em hiểu bài và làm bài thật tốt nhé. Chúc em học giỏi môn Toán!