Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động rất thú vị. Đây là dạng toán thuyền xuôi dòng, ngược dòng, một dạng bài thường gặp trong các kì thi đấy!

Trước hết, chúng ta hãy cùng đọc kĩ đề bài và tóm tắt các thông tin đã cho nhé:

Bài 17: Một tàu thủy xuôi dòng một khúc sông dài 48km rồi ngược dòng 48km hết 5h. Tính vận tốc riêng tàu thủy biết vận tốc dòng nước là 4km/ h.

Phân tích và tóm tắt đề bài:

– Quãng đường xuôi dòng: \(S_x = 48\) km

– Quãng đường ngược dòng: \(S_n = 48\) km

– Tổng thời gian đi và về: \(T_{tổng} = 5\) giờ

– Vận tốc dòng nước: \(v_n = 4\) km/h

– Yêu cầu: Tính vận tốc riêng của tàu thủy (\(v_t\))

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn và tìm điều kiện

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi vận tốc riêng của tàu thủy là \(v_t\) (km/h).

Điều kiện cần cho vận tốc của tàu là \(v_t > v_n\), tức là \(v_t > 4\) km/h. Vì nếu vận tốc tàu nhỏ hơn hoặc bằng vận tốc dòng nước, tàu sẽ không thể đi ngược dòng được hoặc sẽ đứng yên/bị trôi theo dòng nước.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn

Chúng ta có các công thức liên quan đến vận tốc, quãng đường và thời gian trong chuyển động xuôi dòng, ngược dòng:

– Vận tốc khi tàu xuôi dòng (vận tốc thực của tàu + vận tốc dòng nước):

\(v_{xuôi} = v_t + v_n = v_t + 4\) (km/h)

– Vận tốc khi tàu ngược dòng (vận tốc thực của tàu – vận tốc dòng nước):

\(v_{ngược} = v_t – v_n = v_t – 4\) (km/h)

– Thời gian tàu xuôi dòng (thời gian = quãng đường / vận tốc):

\(T_{xuôi} = \frac{S_x}{v_{xuôi}} = \frac{48}{v_t + 4}\) (giờ)

– Thời gian tàu ngược dòng:

\(T_{ngược} = \frac{S_n}{v_{ngược}} = \frac{48}{v_t – 4}\) (giờ)

Bước 3: Lập phương trình

Theo đề bài, tổng thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng là 5 giờ. Từ đó, ta có phương trình sau:

\(T_{xuôi} + T_{ngược} = T_{tổng}\)

\(\frac{48}{v_t + 4} + \frac{48}{v_t – 4} = 5\)

Bước 4: Giải phương trình

Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(v_t\).

Đầu tiên, chúng ta tìm mẫu số chung của hai phân thức ở vế trái là \((v_t + 4)(v_t – 4)\). Nhớ rằng đây là hằng đẳng thức \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \), nên \((v_t + 4)(v_t – 4) = v_t^2 – 4^2 = v_t^2 – 16\).

Quy đồng mẫu số hai phân thức:

\(\frac{48(v_t – 4)}{(v_t + 4)(v_t – 4)} + \frac{48(v_t + 4)}{(v_t – 4)(v_t + 4)} = 5\)

Gộp hai phân thức lại với nhau:

\(\frac{48(v_t – 4) + 48(v_t + 4)}{v_t^2 – 16} = 5\)

Khai triển và rút gọn tử số:

\(\frac{48v_t – 192 + 48v_t + 192}{v_t^2 – 16} = 5\)

\(\frac{96v_t}{v_t^2 – 16} = 5\)

Nhân chéo (nhân \((v_t^2 – 16)\) lên vế phải):

\(96v_t = 5(v_t^2 – 16)\)

\(96v_t = 5v_t^2 – 80\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(5v_t^2 – 96v_t – 80 = 0\)

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm tổng quát. Với \(a = 5\), \(b = -96\), \(c = -80\).

Tính biệt thức delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac\)

\(\Delta = (-96)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-80)\)

\(\Delta = 9216 – (-1600)\)

\(\Delta = 9216 + 1600\)

\(\Delta = 10816\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tính căn bậc hai của delta:

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{10816} = 104\)

Các nghiệm của phương trình là:

\(v_{t1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-96) + 104}{2 \cdot 5} = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20\)

\(v_{t2} = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-96) – 104}{2 \cdot 5} = \frac{96 – 104}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8\)

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận

Bây giờ chúng ta kiểm tra lại điều kiện của \(v_t\) mà chúng ta đã đặt ra ở Bước 1 là \(v_t > 4\) km/h.

– Nghiệm \(v_{t1} = 20\) km/h: Thỏa mãn điều kiện \(v_t > 4\) km/h. Đây là một giá trị hợp lí.

– Nghiệm \(v_{t2} = -0.8\) km/h: Vận tốc không thể là một số âm. Ngoài ra, nó cũng không thỏa mãn điều kiện \(v_t > 4\). Vậy, nghiệm này không hợp lệ.

Vậy, vận tốc riêng của tàu thủy là \(20\) km/h.

Đáp số: Vận tốc riêng của tàu thủy là 20 km/h.

Các em nhớ nhé, khi giải toán chuyển động trên sông nước, việc xác định đúng công thức vận tốc xuôi dòng, ngược dòng và đặt điều kiện cho ẩn là rất quan trọng. Sau khi giải phương trình, đừng quên đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu để chọn ra nghiệm hợp lí nhất nhé!

Chúc các em học tốt!