Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tối ưu hóa thể tích. Bài toán này liên quan đến việc cắt bỏ các hình vuông ở góc của một tấm nhôm để tạo thành một chiếc hộp không nắp có thể tích lớn nhất.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 19. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 2016 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) (cm) rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm \(x\) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất?

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta có một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 2016 cm. Kí hiệu cạnh của tấm nhôm là \(L = 2016\) cm.

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) cm.

Khi cắt đi bốn hình vuông ở bốn góc, chúng ta sẽ thu được một hình dạng giống như hình chữ thập.

Sau đó, chúng ta sẽ gập các cạnh của hình chữ thập này lên để tạo thành một cái hộp không nắp.

Chúng ta cần tìm giá trị của \(x\) để thể tích của cái hộp này là lớn nhất.

Xác định kích thước của hộp:

Sau khi cắt bỏ bốn hình vuông có cạnh \(x\) ở mỗi góc, chiều dài của đáy hộp sẽ là cạnh ban đầu trừ đi \(2x\) (vì mỗi cạnh bị cắt đi \(x\) ở hai đầu). Tương tự, chiều rộng của đáy hộp cũng sẽ là cạnh ban đầu trừ đi \(2x\).

Do tấm nhôm ban đầu là hình vuông nên đáy hộp cũng sẽ là hình vuông.

Chiều dài đáy hộp: \(2016 – 2x\) (cm)

Chiều rộng đáy hộp: \(2016 – 2x\) (cm)

Chiều cao của hộp sẽ chính là cạnh của hình vuông bị cắt ở mỗi góc, tức là \(x\) (cm).

Điều kiện của \(x\):

Để có thể cắt và gập thành hộp, chúng ta cần đảm bảo các kích thước của hộp phải dương.

• Chiều dài đáy phải lớn hơn 0: \(2016 – 2x > 0 \Rightarrow 2x < 2016 \Rightarrow x < 1008\).
• Chiều cao phải lớn hơn 0: \(x > 0\).

Vậy, điều kiện của \(x\) là \(0 < x < 1008\).

Công thức tính thể tích hộp:

Thể tích của một hình hộp chữ nhật (hoặc hình hộp vuông) được tính bằng công thức: Thể tích = Diện tích đáy * Chiều cao.

Trong trường hợp này, diện tích đáy là \((2016 – 2x)^2\).

Do đó, thể tích \(V\) của hộp là:

\(V(x) = (2016 – 2x)^2 \cdot x\)

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích:

Chúng ta cần tìm giá trị của \(x\) sao cho \(V(x)\) đạt giá trị lớn nhất với \(0 < x < 1008\).

Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, trong chương trình Toán lớp 9, chúng ta thường ưu tiên các phương pháp khác nếu có thể, hoặc làm quen với việc biến đổi biểu thức.

Chúng ta có thể khai triển biểu thức thể tích:

\(V(x) = (2016^2 – 2 \cdot 2016 \cdot 2x + (2x)^2) \cdot x\)
\(V(x) = (2016^2 – 8064x + 4x^2) \cdot x\)
\(V(x) = 2016^2x – 8064x^2 + 4x^3\)

Đây là một hàm đa thức bậc ba. Để tìm cực trị của hàm này, chúng ta có thể sử dụng đạo hàm:

\(V'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 – 8064x^2 + 2016^2x)\)
\(V'(x) = 12x^2 – 16128x + 2016^2\)

Để tìm cực trị, ta cho \(V'(x) = 0\):

\(12x^2 – 16128x + 2016^2 = 0\)

Chúng ta có thể chia cả hai vế cho 12 để đơn giản hóa:

\(x^2 – 1344x + \frac{2016^2}{12} = 0\)
\(x^2 – 1344x + \frac{4064256}{12} = 0\)
\(x^2 – 1344x + 338688 = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)

Ở đây, \(a=1\), \(b=-1344\), \(c=338688\).

Tính biệt thức \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-1344)^2 – 4(1)(338688)\)
\(\Delta = 1806336 – 1354752\)
\(\Delta = 451584\)

Tính căn bậc hai của \(\Delta\):

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{451584} = 672\)

Tìm các nghiệm \(x\):

\(x_1 = \frac{1344 + 672}{2} = \frac{2016}{2} = 1008\)
\(x_2 = \frac{1344 – 672}{2} = \frac{672}{2} = 336\)

Chúng ta đã tìm được hai giá trị của \(x\) là 1008 và 336.

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem giá trị nào thỏa mãn điều kiện của \(x\) và cho thể tích lớn nhất.

Điều kiện của \(x\) là \(0 < x < 1008\).

• \(x_1 = 1008\) không thỏa mãn điều kiện \(x < 1008\). Nếu \(x = 1008\), chiều dài đáy sẽ là \(2016 - 2(1008) = 0\), dẫn đến thể tích bằng 0.
• \(x_2 = 336\) thỏa mãn điều kiện \(0 < 336 < 1008\).

Để chắc chắn \(x=336\) cho thể tích lớn nhất, chúng ta có thể xét dấu của \(V'(x)\) hoặc sử dụng kiến thức về hàm số bậc ba.

Hàm \(V(x) = 4x^3 – 8064x^2 + 2016^2x\) có hệ số của \(x^3\) là dương (4 > 0), nên đồ thị hàm số sẽ có dạng đi lên, có một cực đại và một cực tiểu.

Các điểm cực trị là \(x=336\) và \(x=1008\).

Trên khoảng \((0, 1008)\):

• Khi \(x\) tăng từ 0 đến 336, \(V'(x)\) sẽ dương, do đó \(V(x)\) tăng.
• Khi \(x\) tăng từ 336 đến 1008, \(V'(x)\) sẽ âm, do đó \(V(x)\) giảm.

Do đó, \(x = 336\) là điểm cực đại của hàm \(V(x)\) trên khoảng \((0, 1008)\).

Kết luận:

Để hộp nhận được có thể tích lớn nhất, giá trị của \(x\) phải bằng 336 cm.

Vậy, chúng ta cần cắt bốn hình vuông có cạnh bằng 336 cm ở bốn góc của tấm nhôm.

Cảm ơn các em đã theo dõi bài giảng! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!