Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về năng suất làm việc của hai vòi nước. Đây là dạng toán rất phổ biến và thú vị, giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải hệ phương trình. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài toán: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 12 giờ thì đầy bể. Nếu vòi I chảy một mình trong 3 giờ rồi khoá lại rồi mở vòi II chảy tiếp trong 18 giờ thì cả hai vòi chảy đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể?

—

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích bài toán và đặt ẩn số

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Đây chính là các đại lượng mà chúng ta cần tìm.

• Gọi \(x\) (giờ) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể. Điều kiện: \(x > 0\).
• Gọi \(y\) (giờ) là thời gian vòi II chảy một mình đầy bể. Điều kiện: \(y > 0\).

Từ đó, chúng ta có thể suy ra năng suất (hay lượng nước chảy được trong 1 giờ) của mỗi vòi:

• Trong 1 giờ, vòi I chảy được \(1/x\) (phần bể).
• Trong 1 giờ, vòi II chảy được \(1/y\) (phần bể).

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin đã cho trong bài toán, chúng ta sẽ lập các phương trình:

a) Phương trình thứ nhất (từ điều kiện ban đầu):
“Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 12 giờ thì đầy bể.”

Nếu hai vòi cùng chảy, trong 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1/x + 1/y\) (phần bể).
Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy trong 12 giờ thì đầy bể, tức là trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được \(1/12\) (phần bể).

Do đó, ta có phương trình thứ nhất:

\(1/x + 1/y = 1/12 \quad (1)\)

b) Phương trình thứ hai (từ điều kiện thứ hai):
“Nếu vòi I chảy một mình trong 3 giờ rồi khoá lại rồi mở vòi II chảy tiếp trong 18 giờ thì cả hai vòi chảy đầy bể.”

• Lượng nước vòi I chảy được trong 3 giờ là: \(3 * (1/x) = 3/x\) (phần bể).
• Lượng nước vòi II chảy được trong 18 giờ là: \(18 * (1/y) = 18/y\) (phần bể).

Tổng lượng nước cả hai vòi chảy được là đầy bể (tức là 1 phần bể).

Do đó, ta có phương trình thứ hai:
\(3/x + 18/y = 1 \quad (2)\)

Vậy, chúng ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} 1/x + 1/y = 1/12 \\ 3/x + 18/y = 1 \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình này, ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa. Đặt \(a = 1/x\) và \(b = 1/y\) (với \(a, b > 0\)).

Hệ phương trình trở thành:

\(\begin{cases} a + b = 1/12 \quad (I) \\ 3a + 18b = 1 \quad (II) \end{cases}\)

Từ phương trình \((I)\), ta rút \(a\) theo \(b\):

\(a = 1/12 – b\)

Thay \(a\) vào phương trình \((II)\):

\(3 * (1/12 – b) + 18b = 1\)

\(3/12 – 3b + 18b = 1\)

\(1/4 + 15b = 1\)

\(15b = 1 – 1/4\)

\(15b = 3/4\)

\(b = (3/4) / 15\)

\(b = 3 / (4 * 15)\)

\(b = 3 / 60\)

\(b = 1/20\)

Bây giờ, thay giá trị của \(b\) vào biểu thức của \(a\):

\(a = 1/12 – b\)

\(a = 1/12 – 1/20\)

Để trừ hai phân số, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 12 và 20 là 60.

\(a = 5/60 – 3/60\)

\(a = 2/60\)

\(a = 1/30\)

Quay trở lại với các ẩn \(x\) và \(y\):

Vì \(a = 1/x\), ta có \(1/x = 1/30 \Rightarrow x = 30\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0\)).

Vì \(b = 1/y\), ta có \(1/y = 1/20 \Rightarrow y = 20\) (thỏa mãn điều kiện \(y > 0\)).

Bước 4: Kết luận

Vậy, vòi I chảy một mình đầy bể trong 30 giờ.

Vòi II chảy một mình đầy bể trong 20 giờ.

—

Qua bài toán này, các em đã được ôn tập về cách đặt ẩn, lập hệ phương trình và giải hệ phương trình. Hãy nhớ kỹ các bước và phương pháp này để áp dụng cho các bài toán tương tự nhé!

Chúc các em học tốt!