Bài 194. Cho tam giác ABC vuông tại A, với AH là đường cao, AM là…

Chào các em học sinh lớp 8, thầy rất vui khi được hỗ trợ các em giải quyết bài toán hình học này. Đây là một bài toán rất hay, kết hợp nhiều kiến thức về tứ giác và tam giác đồng dạng. Các em hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết dưới đây nhé.

Phân tích sơ lược: Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững tính chất của hình chữ nhật, các hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất của các góc trong tam giác.

a) Chứng minh EF = AH

• Xét tứ giác AEHF, ta có: Góc AEH = 90 độ (do HE vuông góc với AB), góc AFH = 90 độ (do HF vuông góc với AC), góc EAF = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A).
• Vì tứ giác AEHF có ba góc vuông nên AEHF là hình chữ nhật.
• Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau. Do đó, ta có EF = AH (đpcm).

b) Chứng minh góc AEF = góc ACB

• Trong hình chữ nhật AEHF, ta có góc AEF = góc AHF (tính chất đường chéo hình chữ nhật).
• Xét tam giác AHC vuông tại H, có đường cao HF (thực ra ở đây ta xét tam giác AHC, góc AHF và góc ACH cùng phụ với góc HAC).
• Cụ thể: Góc AHF + góc FHC = 90 độ. Mà trong tam giác AHC vuông tại H, góc ACH + góc HAC = 90 độ.
• Mặt khác, trong tam giác AHC, góc AHF phụ với góc HAC, nên góc AHF = góc ACH (hay góc ACB).
• Từ đó suy ra: Góc AEF = góc AHF = góc ACB (đpcm).

c) Chứng minh AM vuông góc với EF

• Gọi O là giao điểm của AH và EF. Vì AEHF là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AH và EF, đồng thời OA = OE = OF = OH.
• Vì OA = OE nên tam giác AOE cân tại O, suy ra góc OAE = góc OEA.
• Ta có: Góc AEF + góc EAM = góc OEA + góc EAM.
• Xét tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AM = MC = MB. Do đó, tam giác AMC cân tại M, suy ra góc MAC = góc MCA (góc ACB).
• Từ câu (b), ta đã có góc AEF = góc ACB. Suy ra góc AEF = góc MAC.
• Xét góc EAM + góc AEF = góc EAM + góc MAC = góc EAC = 90 độ.
• Gọi K là giao điểm của AM và EF. Trong tam giác AEK, ta có góc AEK + góc EAK = 90 độ, suy ra góc AKE = 90 độ.
• Vậy AM vuông góc với EF tại K (đpcm).

Hy vọng phần giải đáp này giúp các em hiểu rõ bản chất bài toán. Nếu còn phần nào chưa rõ, các em hãy xem lại tính chất của hình chữ nhật và các góc phụ nhau trong tam giác vuông nhé. Chúc các em học tốt!