Bài 2. (1,0 điểm) Cho tam giác vuông ở . Gọi , , lần lượt là trung…

Chào các em học sinh, thầy rất hiểu sự lo lắng của các em khi gặp các bài toán hình học lớp 8. Đây là dạng bài tập cơ bản về đường trung bình và các tứ giác đặc biệt. Các em hãy cùng thầy theo dõi lời giải chi tiết dưới đây nhé.

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, chúng ta cần tìm các cặp cạnh đối song song hoặc các tính chất đặc trưng khác. Các em thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Xét tam giác ABC, ta có M là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Suy ra ME là đường trung bình của tam giác ABC.
• Bước 2: Theo tính chất đường trung bình, ta có ME song song với BC (hay ME song song với BD vì D nằm trên BC).
• Bước 3: Theo giả thiết, ta kẻ đường thẳng qua D song song với AB, đường thẳng này cắt AC tại E. Tuy nhiên, theo đề bài, ta có MD song song với AE (vì D nằm trên BC và E nằm trên AC, ta cần xét kỹ hơn).
• Bước 4: Ta có MD song song với AC (do cùng vuông góc với AB) và ME song song với AB (do là đường trung bình).
• Bước 5: Xét tứ giác ADME có:
  • MD song song với AE (vì MD song song với AC).
  • ME song song với AD (vì ME song song với AB).
• Kết luận: Tứ giác ADME có các cặp cạnh đối song song nên ADME là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông

Để một hình bình hành trở thành hình vuông, nó cần thỏa mãn hai điều kiện: vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

• Bước 1: Trước hết, tứ giác ADME đã là hình bình hành. Để ADME là hình chữ nhật, ta cần có một góc vuông. Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc A bằng 90 độ. Vậy ADME đã là hình chữ nhật.
• Bước 2: Để hình chữ nhật ADME trở thành hình vuông, hai cạnh kề của nó phải bằng nhau. Tức là ta cần có AD bằng AE.
• Bước 3: Vì D là trung điểm của BC, nên trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến AD ứng với cạnh huyền BC sẽ bằng một nửa cạnh huyền (AD = 1/2 BC).
• Bước 4: Mặt khác, ME là đường trung bình nên ME = 1/2 AB. Để ADME là hình vuông thì AD phải bằng AE.
• Kết luận: Để tứ giác ADME là hình vuông, tam giác ABC cần có thêm điều kiện là tam giác ABC vuông cân tại A (tức là AB = AC). Khi đó, các cạnh của hình chữ nhật sẽ bằng nhau và tạo thành hình vuông.

Hy vọng lời giải này giúp các em tự tin hơn khi làm bài kiểm tra. Chúc các em học tốt!