TÓM TẮT ĐỀ BÀI:

Lúc 6 giờ, ô tô thứ nhất đi từ A đến B, AB = 380km, với vận tốc \(v_1 = 60 \text{ km/h}\).

Lúc 6h30, ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc \(v_2 = 80 \text{ km/h}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết từng yêu cầu của bài toán.

a) Lập phương trình chuyển động của hai xe trong cùng hệ quy chiếu

Để lập phương trình chuyển động, việc đầu tiên và quan trọng nhất là chúng ta phải chọn một hệ quy chiếu phù hợp.

Bước 1: Chọn hệ quy chiếu

• Gốc tọa độ: Chọn tại địa điểm A.
• Chiều dương: Chọn chiều từ A đến B.
• Gốc thời gian: Chọn lúc 6 giờ sáng (thời điểm xe thứ nhất bắt đầu xuất phát).

Bước 2: Lập phương trình chuyển động cho từng xe

Phương trình tổng quát của chuyển động thẳng đều là: \(x = x_0 + v(t – t_0)\), trong đó:

• \(x_0\) là tọa độ ban đầu.
• \(v\) là vận tốc.
• \(t_0\) là thời điểm ban đầu.

• Tọa độ ban đầu: Xe xuất phát từ A, nơi đặt gốc tọa độ, nên \(x_{01} = 0 \text{ km}\).
• Vận tốc: Xe đi theo chiều dương, nên \(v_1 = 60 \text{ km/h}\).
• Thời điểm ban đầu: Xe xuất phát lúc 6 giờ, trùng với gốc thời gian, nên \(t_{01} = 0 \text{ h}\).

Vậy, phương trình chuyển động của xe thứ nhất là:

\(x_1(t) = x_{01} + v_1(t – t_{01})\)

\(x_1(t) = 0 + 60(t – 0)\)

\(x_1(t) = 60t \quad (1)\)

• Tọa độ ban đầu: Xe xuất phát từ B, mà B cách A 380 km. Do đó, \(x_{02} = 380 \text{ km}\).
• Vận tốc: Xe đi từ B về A, tức là đi ngược chiều dương đã chọn. Vậy vận tốc của xe thứ hai phải là giá trị âm: \(v_2 = -80 \text{ km/h}\).
• Thời điểm ban đầu: Xe xuất phát lúc 6h30. So với gốc thời gian (6h), thì \(t_{02} = 6 \text{h} 30 \text{min} – 6 \text{h} = 30 \text{ min} = 0.5 \text{ h}\).

Vậy, phương trình chuyển động của xe thứ hai là:

\(x_2(t) = x_{02} + v_2(t – t_{02})\)

\(x_2(t) = 380 + (-80)(t – 0.5)\)

\(x_2(t) = 380 – 80(t – 0.5) \quad (2)\)

b) Xác định vị trí và thời điểm hai xe gặp nhau.

Hai xe gặp nhau khi chúng có cùng tọa độ tại cùng một thời điểm.

Bước 1: Lập phương trình khi hai xe gặp nhau

Khi hai xe gặp nhau, ta có: \(x_1(t) = x_2(t)\)

\(60t = 380 – 80(t – 0.5)\)

Bước 2: Giải phương trình để tìm thời điểm gặp nhau \(t\)

\(60t = 380 – 80t + 80 \times 0.5\)

\(60t = 380 – 80t + 40\)

\(60t + 80t = 380 + 40\)

\(140t = 420\)

\(t = \frac{420}{140}\)

\(t = 3 \text{ h}\)

Thời điểm này được tính từ gốc thời gian là 6 giờ sáng. Vậy, hai xe gặp nhau lúc:

Thời điểm gặp nhau = 6 giờ + 3 giờ = 9 giờ sáng.

Bước 3: Xác định vị trí gặp nhau

Để tìm vị trí gặp nhau, ta thay \(t = 3 \text{ h}\) vào một trong hai phương trình chuyển động (1) hoặc (2). Thầy sẽ dùng phương trình (1) vì nó đơn giản hơn:

\(x_1(3) = 60 \times 3\)

\(x_1(3) = 180 \text{ km}\)

(Nếu thay vào phương trình (2) thì: \(x_2(3) = 380 – 80(3 – 0.5) = 380 – 80(2.5) = 380 – 200 = 180 \text{ km}\). Kết quả hoàn toàn trùng khớp).

Vậy, hai xe gặp nhau tại vị trí cách A 180 km.

c) Lúc 9h30 hai xe ở đâu và cách nhau một khoảng bao nhiêu?

Bước 1: Xác định thời điểm \(t\) tương ứng với 9h30

Gốc thời gian là 6 giờ. Vậy 9h30 là sau gốc thời gian một khoảng:

\(t = 9 \text{h} 30 \text{min} – 6 \text{h} = 3 \text{h} 30 \text{min} = 3.5 \text{ h}\).

Bước 2: Tính vị trí của từng xe tại thời điểm \(t = 3.5 \text{ h}\)

1. Vị trí của xe thứ nhất \(x_1(3.5)\):

Sử dụng phương trình (1): \(x_1(t) = 60t\)

\(x_1(3.5) = 60 \times 3.5\)

\(x_1(3.5) = 210 \text{ km}\)

Vậy, lúc 9h30, xe thứ nhất cách A 210 km.

2. Vị trí của xe thứ hai \(x_2(3.5)\):

Sử dụng phương trình (2): \(x_2(t) = 380 – 80(t – 0.5)\)

\(x_2(3.5) = 380 – 80(3.5 – 0.5)\)

\(x_2(3.5) = 380 – 80(3)\)

\(x_2(3.5) = 380 – 240\)

\(x_2(3.5) = 140 \text{ km}\)

Vậy, lúc 9h30, xe thứ hai cách A 140 km.

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai xe

Khoảng cách giữa hai xe là giá trị tuyệt đối của hiệu hai tọa độ của chúng:

\(\Delta x = |x_1(3.5) – x_2(3.5)|\)

\(\Delta x = |210 – 140|\)

\(\Delta x = |70|\)

\(\Delta x = 70 \text{ km}\)

Vậy, lúc 9h30, hai xe cách nhau 70 km.

d) Vẽ đồ thị toạ độ của hai xe và so sánh kết quả vị trí hai xe gặp nhau trên đồ thị và kết quả trong câu b.

Để vẽ đồ thị tọa độ – thời gian (\(x-t\)), chúng ta cần các điểm đặc biệt của từng phương trình chuyển động.

Trục tung biểu diễn tọa độ \(x\) (km), trục hoành biểu diễn thời gian \(t\) (h).

1. Đồ thị chuyển động của xe thứ nhất: \(x_1(t) = 60t\)

Đây là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc dương.

• Tại \(t = 0 \text{ h}\) (6h sáng): \(x_1(0) = 0 \text{ km}\) (điểm (0, 0)).
• Tại \(t = 3 \text{ h}\) (9h sáng): \(x_1(3) = 180 \text{ km}\) (điểm (3, 180)).
• Tại \(t = 3.5 \text{ h}\) (9h30 sáng): \(x_1(3.5) = 210 \text{ km}\) (điểm (3.5, 210)).
• Xe đến B (380km): \(380 = 60t \Rightarrow t = 380/60 \approx 6.33 \text{ h}\) (điểm (6.33, 380)).

2. Đồ thị chuyển động của xe thứ hai: \(x_2(t) = 380 – 80(t – 0.5)\)

Đây là một đường thẳng với hệ số góc âm, bắt đầu từ \(t = 0.5 \text{ h}\).

• Tại \(t = 0.5 \text{ h}\) (6h30 sáng): \(x_2(0.5) = 380 – 80(0.5 – 0.5) = 380 \text{ km}\) (điểm (0.5, 380)).
• Tại \(t = 3 \text{ h}\) (9h sáng): \(x_2(3) = 380 – 80(3 – 0.5) = 380 – 80(2.5) = 380 – 200 = 180 \text{ km}\) (điểm (3, 180)).
• Tại \(t = 3.5 \text{ h}\) (9h30 sáng): \(x_2(3.5) = 380 – 80(3.5 – 0.5) = 380 – 80(3) = 140 \text{ km}\) (điểm (3.5, 140)).
• Xe đến A (0km): \(0 = 380 – 80(t – 0.5) \Rightarrow 380 = 80t – 40 \Rightarrow 420 = 80t \Rightarrow t = 420/80 = 5.25 \text{ h}\) (điểm (5.25, 0)).

Vẽ đồ thị:

(Trong môi trường văn bản HTML, thầy không thể vẽ đồ thị trực tiếp được. Các em hãy hình dung hoặc vẽ ra giấy theo các điểm đã tính toán nhé!)

Các em sẽ vẽ hai đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ:

• Đường thẳng 1: Nối điểm (0,0) với (3,180) và kéo dài.
• Đường thẳng 2: Nối điểm (0.5,380) với (3,180) và kéo dài.

So sánh kết quả:

Trên đồ thị, giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn vị trí và thời điểm hai xe gặp nhau. Từ các điểm chúng ta đã tính để vẽ, ta thấy rằng cả hai đường thẳng đều đi qua điểm có tọa độ (t = 3h; x = 180km).

Điều này hoàn toàn trùng khớp với kết quả mà chúng ta đã tính toán được trong câu b (thời điểm 9 giờ sáng và vị trí cách A 180 km).

Như vậy, phương pháp giải bằng đồ thị và phương pháp giải bằng đại số đã cho kết quả thống nhất, củng cố sự chính xác trong bài làm của chúng ta!

e) Xác định thời điểm hai xe cách nhau 60km.

Khoảng cách giữa hai xe tại thời điểm \(t\) là \(|x_1(t) – x_2(t)|\).
Ta cần tìm \(t\) sao cho \(|x_1(t) – x_2(t)| = 60\).

Thay các phương trình chuyển động vào:

\(|60t – (380 – 80(t – 0.5))| = 60\)

\(|60t – (380 – 80t + 40)| = 60\)

\(|60t – 380 + 80t – 40| = 60\)

\(|140t – 420| = 60\)

Phương trình này có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Hai xe cách nhau 60 km trước khi gặp nhau (tức là xe 2 đang ở phía trước xe 1)

Khi đó, \(x_2(t) – x_1(t) = 60\), hoặc \(140t – 420 = -60\)

\(140t = 420 – 60\)

\(140t = 360\)

\(t = \frac{360}{140} = \frac{36}{14} = \frac{18}{7} \text{ h}\)

Giá trị này xấp xỉ \(t \approx 2.571 \text{ h}\). Đây là thời điểm trước khi hai xe gặp nhau (t = 3h).

Để đổi ra giờ và phút cụ thể:

\(t = 2 \text{ giờ} + \frac{4}{7} \text{ giờ}\)

\(\frac{4}{7} \text{ giờ} = \frac{4}{7} \times 60 \text{ phút} \approx 34.28 \text{ phút}\)

Vậy, thời điểm thứ nhất là: 6 giờ + 2 giờ 34 phút 17 giây = 8 giờ 34 phút 17 giây.

Trường hợp 2: Hai xe cách nhau 60 km sau khi đã gặp nhau (tức là xe 1 đã vượt qua xe 2)

Khi đó, \(x_1(t) – x_2(t) = 60\), hoặc \(140t – 420 = 60\)

\(140t = 420 + 60\)

\(140t = 480\)

\(t = \frac{480}{140} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} \text{ h}\)

Giá trị này xấp xỉ \(t \approx 3.428 \text{ h}\). Đây là thời điểm sau khi hai xe gặp nhau (t = 3h).

Để đổi ra giờ và phút cụ thể:

\(t = 3 \text{ giờ} + \frac{3}{7} \text{ giờ}\)

\(\frac{3}{7} \text{ giờ} = \frac{3}{7} \times 60 \text{ phút} \approx 25.71 \text{ phút}\)

Vậy, thời điểm thứ hai là: 6 giờ + 3 giờ 25 phút 43 giây = 9 giờ 25 phút 43 giây.

Kết luận:
Hai xe cách nhau 60 km vào hai thời điểm:

1. Lúc 8 giờ 34 phút 17 giây.
2. Lúc 9 giờ 25 phút 43 giây.

Bài toán của chúng ta đã được giải quyết một cách chi tiết và đầy đủ. Các em hãy ôn tập lại các bước, đặc biệt là cách chọn hệ quy chiếu và xử lý các trường hợp của giá trị tuyệt đối nhé! Chúc các em học tốt!