Bài 20. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 13 và nếu cộng 34 vào tích của hai chữ số đó thì ta được chính số đó.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt ẩn và lập hệ phương trình.

Bước 1: Gọi ẩn

Giả sử số tự nhiên có hai chữ số cần tìm có dạng \(\overline{ab}\), trong đó \(a\) là chữ số hàng chục và \(b\) là chữ số hàng đơn vị.

Điều kiện: \(a \in \{1, 2, …, 9\}\) và \(b \in \{0, 1, …, 9\}\).

Số \(\overline{ab}\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(10a + b\).

Bước 2: Lập phương trình dựa trên các điều kiện của đề bài

Điều kiện thứ nhất: “tổng các chữ số của nó bằng 13”.

Ta có phương trình thứ nhất:

\(a + b = 13\) (1)

Điều kiện thứ hai: “nếu cộng 34 vào tích của hai chữ số đó thì ta được chính số đó”.

Tích của hai chữ số là \(a \times b\).

Cộng 34 vào tích này ta được \(a \times b + 34\).

Theo đề bài, kết quả này bằng chính số đó, tức là \(10a + b\).

Ta có phương trình thứ hai:

\(a \times b + 34 = 10a + b\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{cases} a + b = 13 \\ ab + 34 = 10a + b \end{cases}\)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Chọn biểu diễn \(b\) theo \(a\):

\(b = 13 – a\)

Thế \(b = 13 – a\) vào phương trình (2):

\(a(13 – a) + 34 = 10a + (13 – a)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn và giải phương trình này để tìm \(a\).

\(13a – a^2 + 34 = 10a + 13 – a\)

\(13a – a^2 + 34 = 9a + 13\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\(-a^2 + 13a – 9a + 34 – 13 = 0\)

\(-a^2 + 4a + 21 = 0\)

Nhân cả hai vế với -1 để hệ số của \(a^2\) dương:

\(a^2 – 4a – 21 = 0\)

Bây giờ, chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm.

Phân tích thành nhân tử: Ta cần tìm hai số có tích bằng -21 và tổng bằng -4. Hai số đó là -7 và 3.

\((a – 7)(a + 3) = 0\)

Từ đó, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(a – 7 = 0 \implies a = 7\)

Trường hợp 2: \(a + 3 = 0 \implies a = -3\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của ẩn

Vì \(a\) là chữ số hàng chục của một số tự nhiên có hai chữ số, nên \(a\) phải là một số nguyên dương từ 1 đến 9.

Trường hợp \(a = -3\) không thỏa mãn điều kiện này.

Trường hợp \(a = 7\) thỏa mãn điều kiện \(a \in \{1, 2, …, 9\}\).

Bước 5: Tìm ẩn còn lại

Với \(a = 7\), ta tìm \(b\) bằng cách sử dụng phương trình \(b = 13 – a\):

\(b = 13 – 7\)

\(b = 6\)

Kiểm tra điều kiện của \(b\): \(b\) là chữ số hàng đơn vị, nên \(b\) phải là một số nguyên từ 0 đến 9. \(b = 6\) thỏa mãn điều kiện này.

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả với đề bài

Số tìm được là \(\overline{ab} = 76\).

Kiểm tra điều kiện 1: Tổng các chữ số là \(a + b = 7 + 6 = 13\). (Đúng)

Kiểm tra điều kiện 2: Tích của hai chữ số là \(a \times b = 7 \times 6 = 42\).

Cộng 34 vào tích này: \(42 + 34 = 76\).

Kết quả này bằng chính số đó (76). (Đúng)

Vậy, số tự nhiên cần tìm là 76.

Kết luận:

Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là 76.

Các em thấy đấy, việc đặt ẩn và lập hệ phương trình giúp chúng ta biến một bài toán từ ngữ thành một bài toán đại số quen thuộc và dễ dàng giải quyết hơn. Các em hãy xem lại bài giải và cố gắng tự mình giải lại nhé!