Chào các em học sinh! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn chúng ta giải một bài toán năng suất rất hay và điển hình của chương trình Toán lớp 8. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bài 21: Hai người định làm chung trong 12 ngày thì hoàn thành một công việc. Nhưng chỉ làm chung trong 8 ngày thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm trong 5 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình bao lâu thì xong?

Chúng ta cùng phân tích bài toán này nhé!

Phân tích bài toán:

Bài toán cho biết thông tin về thời gian hai người làm chung và thời gian từng người làm riêng trong một giai đoạn nhất định. Yêu cầu của bài toán là tìm thời gian mỗi người làm một mình để hoàn thành công việc. Đây là dạng bài toán làm chung – làm riêng liên quan đến năng suất lao động. Để giải quyết dạng bài này, chúng ta sẽ thường gọi thời gian hoàn thành công việc của mỗi người là ẩn số, sau đó biểu diễn năng suất (phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian) và thiết lập hệ phương trình.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) ngày.

Gọi thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) ngày.

Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\) (vì thời gian không thể âm hoặc bằng 0).

Bước 2: Biểu diễn năng suất (phần công việc làm được trong 1 ngày) của mỗi người.

Năng suất của người thứ nhất (phần công việc làm được trong 1 ngày) là: \( \frac{1}{x} \) (công việc/ngày)

Năng suất của người thứ hai (phần công việc làm được trong 1 ngày) là: \( \frac{1}{y} \) (công việc/ngày)

Bước 3: Thiết lập các phương trình dựa vào các dữ kiện của bài toán.

Dữ kiện 1: “Hai người định làm chung trong 12 ngày thì hoàn thành một công việc.”

Nếu làm chung, năng suất của cả hai người là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \).
Theo đề bài, cả hai người làm chung 12 ngày thì xong công việc, tức là toàn bộ công việc (coi là 1 đơn vị).
Vậy, ta có phương trình thứ nhất:

\( 12 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \)

Hay: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \) (Phương trình 1)

Dữ kiện 2: “Nhưng chỉ làm chung trong 8 ngày thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm trong 5 ngày nữa thì xong.”

Trong 8 ngày đầu, cả hai người cùng làm. Lượng công việc họ làm được là:

\( 8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{8}{x} + \frac{8}{y} \) (phần công việc)

Sau đó, người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục làm một mình trong 5 ngày. Lượng công việc người thứ hai làm được trong 5 ngày là:

\( 5 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{y} \) (phần công việc)

Tổng cộng, toàn bộ công việc đã hoàn thành (bằng 1 đơn vị công việc).
Vậy, ta có phương trình thứ hai:

\( \frac{8}{x} + \frac{8}{y} + \frac{5}{y} = 1 \)

Hay: \( \frac{8}{x} + \frac{13}{y} = 1 \) (Phương trình 2)

Bước 4: Giải hệ phương trình đã thiết lập.

Ta có hệ phương trình:

1. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \)

2. \( \frac{8}{x} + \frac{13}{y} = 1 \)

Để giải hệ này, chúng ta có thể đặt \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\) để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc:

1. \( a + b = \frac{1}{12} \)

2. \( 8a + 13b = 1 \)

Từ phương trình (1), ta rút \(a\) theo \(b\): \( a = \frac{1}{12} – b \)

Thay \(a\) vào phương trình (2):

\( 8 \left( \frac{1}{12} – b \right) + 13b = 1 \)

\( \frac{8}{12} – 8b + 13b = 1 \)

\( \frac{2}{3} + 5b = 1 \)

\( 5b = 1 – \frac{2}{3} \)

\( 5b = \frac{1}{3} \)

\( b = \frac{1}{3} \div 5 \)

\( b = \frac{1}{15} \)

Bây giờ, thay giá trị của \(b\) vào biểu thức của \(a\):

\( a = \frac{1}{12} – b \)

\( a = \frac{1}{12} – \frac{1}{15} \)

Để trừ hai phân số này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 12 và 15, đó là 60.

\( a = \frac{5}{60} – \frac{4}{60} \)

\( a = \frac{1}{60} \)

Bước 5: Tìm giá trị của \(x\) và \(y\).

Vì \(a = \frac{1}{x}\), nên \( \frac{1}{x} = \frac{1}{60} \implies x = 60 \).

Vì \(b = \frac{1}{y}\), nên \( \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \implies y = 15 \).

Kiểm tra điều kiện: \(x = 60\) và \(y = 15\) đều thỏa mãn điều kiện \(x > 0, y > 0\).

Kiểm tra lại bài toán:

• Nếu người thứ nhất làm 60 ngày, người thứ hai làm 15 ngày.
• Năng suất chung: \( \frac{1}{60} + \frac{1}{15} = \frac{1}{60} + \frac{4}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \). Vậy làm chung 12 ngày thì xong, đúng với dữ kiện đầu tiên.
• Làm chung 8 ngày: \( 8 \times \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) công việc.
• Phần việc còn lại: \( 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \) công việc.
• Người thứ hai làm nốt \( \frac{1}{3} \) công việc này: \( \frac{1}{3} \div \frac{1}{15} = \frac{1}{3} \times 15 = 5 \) ngày. Đúng với dữ kiện thứ hai.

Vậy, lời giải của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là 60 ngày.

Thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là 15 ngày.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách giải dạng toán năng suất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài khác để thành thạo hơn nhé! Chúc các em học tốt!