Chào các em học sinh yêu quý!

Cô/Thầy hiểu rằng các em đang cần gấp lời giải cho bài toán này. Đừng lo lắng, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhất nhé!

Đề bài: Chứng minh rằng biểu thức \( (2n+3)^2 – (2n-1)^2 \) chia hết cho 8 với \( n \neq 0 \).

Đây là một dạng bài tập rất phổ biến và quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, liên quan đến việc áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Cụ thể ở đây, chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Phân tích và Giải bài toán:

Chúng ta có biểu thức cần chứng minh là: \( (2n+3)^2 – (2n-1)^2 \)

Để giải bài này, các em hãy nhớ lại hằng đẳng thức cơ bản sau:
Hiệu hai bình phương: \( A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) \)

Trong biểu thức của chúng ta, chúng ta có thể xác định \( A \) và \( B \) như sau:
\( A = 2n+3 \)
\( B = 2n-1 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức này vào biểu thức đã cho:

\( (2n+3)^2 – (2n-1)^2 = [ (2n+3) – (2n-1) ] \cdot [ (2n+3) + (2n-1) ] \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính trong từng dấu ngoặc vuông một cách cẩn thận:

1. Tính giá trị của biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất (hiệu \( A-B \)):

\( (2n+3) – (2n-1) \)
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các số hạng bên trong ngoặc.
\( = 2n+3 – 2n+1 \)
\( = (2n-2n) + (3+1) \)
\( = 0 + 4 \)
\( = 4 \)

2. Tính giá trị của biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai (tổng \( A+B \)):

\( (2n+3) + (2n-1) \)
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng đằng trước, chúng ta giữ nguyên dấu tất cả các số hạng bên trong ngoặc.
\( = 2n+3 + 2n-1 \)
\( = (2n+2n) + (3-1) \)
\( = 4n + 2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân kết quả của hai ngoặc lại với nhau:

\( (2n+3)^2 – (2n-1)^2 = 4 \cdot (4n+2) \)

Tiếp tục rút gọn biểu thức này. Chúng ta có thể nhận thấy rằng \( 4n+2 \) có nhân tử chung là 2:

\( = 4 \cdot 2 \cdot (2n+1) \)
\( = 8 \cdot (2n+1) \)

Đến đây, chúng ta đã biến đổi biểu thức ban đầu thành dạng \( 8 \cdot (2n+1) \).

Vì \( n \) là một số nguyên (trong các bài toán chứng minh chia hết ở lớp 8, khi không nói rõ, \( n \) thường được hiểu là số nguyên), nên \( 2n \) cũng là số nguyên. Do đó, \( 2n+1 \) chắc chắn là một số nguyên.

Kết luận:

Vì biểu thức \( (2n+3)^2 – (2n-1)^2 \) có thể viết dưới dạng \( 8 \cdot (2n+1) \), trong đó \( (2n+1) \) là một số nguyên, nên biểu thức này luôn chia hết cho 8.

Điều kiện \( n \neq 0 \) mà đề bài đưa ra không làm thay đổi tính chia hết cho 8 của biểu thức. Bởi vì ngay cả khi \( n=0 \), thì \( 2n+1 = 2(0)+1 = 1 \), và biểu thức sẽ là \( 8 \cdot 1 = 8 \), vẫn chia hết cho 8. Điều kiện này có thể liên quan đến một phần khác của bài toán không được nêu ra, hoặc chỉ đơn thuần để tránh trường hợp đặc biệt không mong muốn (mặc dù trong bài này thì \( n=0 \) không phải là trường hợp đặc biệt gây lỗi).

Vậy là chúng ta đã chứng minh xong yêu cầu của đề bài!

Hy vọng lời giải chi tiết và từng bước này sẽ giúp các em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!

Chúc các em học tốt!