+ Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD có Â= B = 90°, AD = 2cm, BC = 6m, CD = 8cm. C…
Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD có \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), AD = 2cm, BC = 6m, CD = 8cm. Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
Trước hết, chúng ta cùng phân tích đề bài:
– Chúng ta có một hình thang vuông ABCD, với hai góc vuông tại A và B. Điều này có nghĩa là AB song song với CD là sai, mà là AB vuông góc với AD và AB vuông góc với BC. Tuy nhiên, hình thang vuông ABCD có \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \) có nghĩa là AB là cạnh đáy và CD cũng là cạnh đáy, và AD, BC là hai cạnh bên. Vậy nên, AD song song với BC. Tuy nhiên, đề bài lại cho \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \). Điều này có nghĩa là AD và BC là hai cạnh bên vuông góc với đáy AB. Vậy thì AD song song với BC. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa hình thang (có ít nhất một cặp cạnh đáy song song).
Trong trường hợp này, khi \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), AB là chiều cao của hình thang, AD và BC là hai đáy song song. Tuy nhiên, đề bài lại cho AD = 2cm, BC = 6m, CD = 8cm. Với \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), AD và BC phải là các đáy. Nếu AD và BC là các đáy thì chúng song song với nhau. Nhưng đề bài cho \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), nghĩa là AB là cạnh bên vuông góc với hai đáy. Vậy nên, AD và BC phải là hai đáy song song.
Có vẻ như đề bài có một chút nhầm lẫn trong cách diễn đạt. Thông thường, trong hình thang vuông ABCD có \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), thì AB là cạnh bên chung vuông góc với hai đáy là AD và BC. Tuy nhiên, với các kích thước cho AD = 2cm, BC = 6m, CD = 8cm, thì dường như AD và BC là hai đáy, và AB là cạnh bên. Nếu vậy thì \( \widehat{D} = \widehat{C} = 90^\circ \) hoặc \( \widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ \).
Dựa trên cách đặt tên ABCD và các góc vuông tại A và B, thầy sẽ giả định rằng AB là chiều cao, và AD và BC là hai đáy song song. Tuy nhiên, đề bài lại cho CD = 8cm, mà CD lại là một cạnh bên nếu AD và BC là đáy.
Để giải bài toán này một cách logic, thầy sẽ giả định đề bài muốn nói rằng:
Cho hình thang ABCD có \( \widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ \) (hoặc \( \widehat{B} = \widehat{C} = 90^\circ \)), AD = 2cm, BC = 6cm (thầy sửa 6m thành 6cm cho hợp lý với các đơn vị khác), AB là cạnh bên.
Tuy nhiên, nếu đề bài thật sự cho \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), thì AB là cạnh bên và AD song song với BC. Nhưng với AD = 2cm, BC = 6m, CD = 8cm, thì cách cho này rất lạ.
Thầy sẽ giải theo trường hợp phổ biến và hợp lý nhất với hình thang vuông, đó là có một cặp cạnh đáy song song và một cặp cạnh bên vuông góc với hai đáy.
Giả sử đề bài là: Cho hình thang ABCD có \( \widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ \), AD = 2cm, BC = 6cm, AB = 8cm. Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
(Trong trường hợp này, AD và BC là hai đáy song song, AB là cạnh bên.)
Nhưng nếu theo đúng đề bài đã cho: ABCD có \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), AD = 2cm, BC = 6m, CD = 8cm.
Thì AB là cạnh bên, AD song song với BC. Đây là hình thang.
Với \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), AB là chiều cao. AD và BC là hai đáy.
Nhưng đề bài lại cho BC = 6m, AD = 2cm, CD = 8cm. Kích thước 6m là quá lớn so với 2cm và 8cm, khả năng cao là lỗi đánh máy. Thầy sẽ sửa BC = 6cm.
Giả định sửa đề bài cho hợp lý:
Cho hình thang ABCD có \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), AD = 2cm, BC = 6cm, CD = 8cm. Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
Bắt đầu giải bài toán với giả định đã sửa:
Phân tích đề bài:
Chúng ta có hình thang vuông ABCD với \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \). Điều này có nghĩa là AB là cạnh bên chung và vuông góc với hai đáy AD và BC.
Các kích thước đã cho là: AD = 2cm, BC = 6cm, CD = 8cm.
Chúng ta cần chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn có đường kính là CD.
Để chứng minh một đường thẳng tiếp xúc với một đường tròn, ta cần chứng minh khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng đó bằng bán kính của đường tròn.
Bước 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn đường kính CD.
Gọi O là tâm của đường tròn có đường kính CD.
Tâm O là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Bán kính của đường tròn này là \( R = \frac{CD}{2} = \frac{8cm}{2} = 4cm \).
Bước 2: Thiết lập hệ tọa độ hoặc sử dụng các định lý hình học.
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hoặc hình học thuần túy.
Cách 1: Sử dụng hình học thuần túy.
Chúng ta cần tính khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng AB.
Để làm điều này, chúng ta cần xác định vị trí của O so với đường thẳng AB.
Dựng hình:
Vẽ hình thang ABCD với \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \). AD song song với BC.
Vẽ đường cao BH vuông góc với BC (nhưng không đúng vì ABCD là hình thang vuông tại A, B).
Vẽ đường thẳng qua D song song với AB, cắt BC tại E.
Hoặc, kẻ đường cao từ D xuống BC.
Kẻ DH vuông góc với BC (H thuộc BC). Nếu \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), thì AB là chiều cao. AD và BC là đáy.
Chúng ta kẻ một đường thẳng qua D song song với AB, cắt BC tại một điểm. Nhưng AD và BC là đáy, AB là chiều cao.
Hãy kẻ đường thẳng qua D song song với AB, cắt BC tại điểm E. Khi đó ABED là hình chữ nhật. DE = AB và AD = BE = 2cm.
Ta có BC = 6cm, BE = 2cm, vậy EC = BC – BE = 6cm – 2cm = 4cm.
Xét tam giác DEC vuông tại E (vì DE song song AB và AB vuông góc BC).
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác DEC:
\( DC^2 = DE^2 + EC^2 \)
\( 8^2 = DE^2 + 4^2 \)
\( 64 = DE^2 + 16 \)
\( DE^2 = 64 – 16 = 48 \)
\( DE = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} cm \).
Như vậy, AB = DE = \( 4\sqrt{3} \) cm.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết của đề bài (tức là AB không có giá trị cố định được cho trước).
Xem xét lại đề bài một lần nữa và giả định khác:
Nếu \( \widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ \), AD và BC là hai đáy song song, AB là cạnh bên.
AD = 2cm, BC = 6cm, CD = 8cm.
Kẻ BH vuông góc với BC, H thuộc BC.
Kẻ đường thẳng qua B song song với AD, cắt CD tại E.
Nếu \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), thì AB là chiều cao. AD và BC là hai đáy song song.
AD = 2cm, BC = 6cm, CD = 8cm.
Chúng ta cần chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
Gọi O là trung điểm CD. \( R = OC = OD = 4cm \).
Để AB tiếp xúc với đường tròn, khoảng cách từ O đến AB phải bằng R.
Chúng ta cần biết khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.
Thử cách 2: Sử dụng hệ tọa độ.
Đặt A = (0, 0).
Vì \( \widehat{A} = 90^\circ \), ta đặt AB trên trục Oy và AD trên trục Ox.
A = (0, 0)
B = (0, h) (với h là độ dài AB)
D = (2, 0)
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B, nên AD song song với BC. Tuy nhiên, theo cách đặt này, AD nằm trên trục Ox và BC phải song song với trục Ox.
Nếu \( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^\circ \), thì AB là chiều cao.
Đặt A = (0, 0).
B = (0, AB)
D = (AD, 0) = (2, 0)
C = (BC, AB) = (6, AB)
Nhưng AD và BC là hai đáy, AB là chiều cao. Vậy AD song song BC.
Đặt A = (0, 0).
D = (2, 0).
Vì \( \widehat{A} = 90^\circ \), AB vuông góc với AD. Đặt AB trên trục Oy.
B = (0, AB).
Vì \( \widehat{B} = 90^\circ \), BC vuông góc với AB. Vậy BC song song với trục Ox.
C = (x_C, AB).
Đáy AD nằm trên trục Ox. Đáy BC song song với trục Ox.
Khoảng cách giữa hai đáy là AB.
Độ dài AD = 2.
Độ dài BC = 6.
Độ dài CD = 8.
Trong hệ tọa độ:
A = (0, 0)
D = (2, 0)
B = (0, h) (với h là độ dài AB)
C = (6, h) (vì BC = 6 và BC song song trục Ox).
Bây giờ ta tính khoảng cách CD:
\( CD^2 = (6 – 2)^2 + (h – 0)^2 \)
\( CD^2 = 4^2 + h^2 \)
\( 8^2 = 16 + h^2 \)
\( 64 = 16 + h^2 \)
\( h^2 = 48 \)
\( h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \).
Vậy AB = \( 4\sqrt{3} \) cm.
Tâm O của đường tròn đường kính CD là trung điểm của CD.
Tọa độ trung điểm O của CD là: \( O = \left( \frac{2+6}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{h}{2} \right) = \left( 4, \frac{4\sqrt{3}}{2} \right) = (4, 2\sqrt{3}) \).
Bán kính của đường tròn là \( R = \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm.
Đường thẳng AB nằm trên trục Oy, có phương trình là \( x = 0 \).
Khoảng cách từ tâm O = (4, \( 2\sqrt{3} \)) đến đường thẳng \( x = 0 \) là giá trị tuyệt đối của hoành độ của O, tức là \( |4| = 4 \).
Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng AB là 4 cm.
Bán kính của đường tròn là 4 cm.
Vì khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng AB bằng bán kính của đường tròn, nên AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
Kết luận:
Dựa trên các phép tính với hệ tọa độ, ta đã chứng minh được rằng khoảng cách từ tâm đường tròn đường kính CD đến đường thẳng AB bằng với bán kính của đường tròn đó.
Do đó, AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.
Ghi chú quan trọng: Đề bài gốc có thể có lỗi đánh máy hoặc nhầm lẫn về đơn vị (6m). Cách giải trên dựa trên việc sửa lại BC = 6cm và xác định ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB là chiều cao và AD, BC là hai đáy song song.
C1: Gọi O là tđ DC
từ O hạ đường vuông góc với AB tại H(H∈ AB)
ta có: O là tđ DC(gt)
⇒O là tâm đường tròn bán kính OD
⇒OD=OC=d/2=1/2 DC=8/2=4(cm)(1)
ta có:
AD⊥AB;OH⊥AB;CB⊥AB(gt)
⇒AB//OH//BC
mà O lại là tđ DC(gt)
⇒OH là đtb của hình thang vuông ABCD
⇒OH=1/2(AD+BC)
=1/2(2+6)
=4(cm)(2)
từ (1)(2):
⇒OD=OH=OC=R=4cm
⇒khoảng cách từ O đến AB=OH=R
hay AB tiếp xúc đường tròn đường kính CD(đpcm)
CÁCH NÀY DÙNG ĐTB CỦA HÌNH THANG
C2:gọi O là tđ DC
từ O kẻ OH⊥AB (H ∈ AB)
từ D kẻ DK⊥BC (K ∈ BC)
gọi I là gđ DK và OH
ta có: O là tđ DC(gt)
⇒O là tâm đường tròn bán kính OD
⇒OD=OC=d/2=1/2 DC=8/2=4(cm)(3)
Xét tứ giác ABKD có:
∠DAB=∠ABK=∠BKD=90 độ(gt)
Vậy tg ABKD là HCN
⇒AD=BK=2(cm)
và AB=DK
Xét tứ giác BHIK có:
∠IHB=∠IBK=∠BKI=90 độ(gt)
Vậy tg BHIK là HCN
⇒HI=BK=2(cm)
ta có :
KC=BC-BK
=6-2=4(cm)
Xét ΔDKC có:
O là trung điểm DC(gt)
OI//KC(OH//BC)
Vậy OI là đtb của ΔDKC
⇒I là tđ DK
hay DI=IK=1/2 KC=4/2=2(cm)
ta có:
OH=HI+OI
=2+2=4(cm)(4)
từ (3)(4):
⇒OD=OH=OC=R=4cm
⇒khoảng cách từ O đến AB=OH=d/2
hay AB tiếp xúc đường tròn đường kính CD(đpcm)
CÁCH NÀY KO DÙNG ĐTB CỦA HÌNH THANG
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải:
Gọi \(O\) là trung điểm \(DC\)
\(\rightarrow OD = OC = \dfrac{DC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 (cm)\)
Từ \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc của \(AB\) tại \(E\)
Ta có:
\(O\) là trung điểm \(DC\)
\(OE // BC\) ( cùng vuông góc với \(AB\) )
\(\rightarrow OE\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)
\(\rightarrow OE = \dfrac{1}{2} ( AD + BC )\)
\(\rightarrow OE = \dfrac{1}{2}.8 = 4 (cm)\)
Nên \(AB = OD = OC = 4 (cm )\)
Vậy \(AB\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment