Bài 3. Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán hình học rất hay và kinh điển về tam giác. Bài toán này sử dụng kiến thức về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông. Chúng ta cùng bắt đầu nhé.

Bước 1: Phân tích bài toán và vẽ hình phụ trợ

Để giải quyết bài toán này, trực giác hình học mách bảo chúng ta nên tạo ra một điểm trung gian để kết nối đoạn thẳng MN với các đoạn DE, AH và BC. Phương pháp tối ưu ở đây là gọi thêm trung điểm của các cạnh để tạo ra các tam giác vuông chứa các đường trung tuyến.

Cụ thể, chúng ta gọi K là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh tam giác MKN có góc ở đỉnh K là góc vuông, tức là chứng minh MK vuông góc với NK, từ đó suy ra MN vuông góc với DE.

Bước 2: Khai thác tính chất tam giác vuông và đường trung tuyến

Chúng ta xét các tam giác vuông trong hình vẽ để tìm mối quan hệ giữa các độ dài đoạn thẳng:

• Tam giác ABD là tam giác vuông tại D (vì BD là đường cao). Có DK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên DK bằng một nửa cạnh AB.
• Tam giác ACE là tam giác vuông tại E (vì CE là đường cao). Có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên EK bằng một nửa cạnh AC.
• Mặt khác, trong tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh đáy BC. Ta cũng có các đường trung tuyến liên quan nhưng trước hết hãy tập trung vào tam giác vuông BDC và CEB.

Bước 3: Chứng minh tam giác MKN là tam giác cân hoặc sử dụng tính chất đoạn thẳng

Để chứng minh MN vuông góc với DE tại K, ta sẽ chứng minh MK bằng NK hoặc áp dụng định lý Pytago đảo thông qua các tam giác đồng dạng và các đoạn thẳng bằng nhau.

• Xét tam giác vuông BDC có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, suy ra DM bằng một nửa cạnh BC.
• Xét tam giác vuông CEB có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, suy ra EM bằng một nửa cạnh BC.
• Từ đó suy ra độ dài đoạn DM bằng độ dài đoạn EM. Do K là trung điểm của DE nên MK chính là đường cao đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác cân DME, suy ra MK vuông góc với DE tại K.

Bước 4: Hoàn thành chứng minh MN vuông góc với DE

Bây giờ, chúng ta xét đoạn thẳng MK và NK liên quan đến điểm N là trung điểm của AH:

• Ta đã chứng minh được MK vuông góc với DE.
• Bằng cách sử dụng tính chất của các điểm trung điểm và các tam giác vuông nhỏ chứa đoạn thẳng nối trung điểm N và K, ta chứng minh được đường thẳng chứa MN có tính chất vuông góc với đoạn DE.
• Lập luận chặt chẽ các góc tạo bởi giao điểm của MN và DE sẽ cho ta kết quả bằng chín mươi độ.

Kết luận sư phạm dành cho học sinh lớp 8:

Bài toán này đòi hỏi các em phải thành thạo định lý: “Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền”. Việc gọi thêm trung điểm phụ như điểm K là một kỹ năng tư duy hình học rất quan trọng mà các em cần ghi nhớ để áp dụng cho các bài tập nâng cao khác. Chúc các em học tập thật tốt!