Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay về diện tích hình chữ nhật. Đây là dạng bài thường gặp trong các bài kiểm tra và thi cử, đòi hỏi chúng ta phải biết cách đặt ẩn và lập hệ phương trình để giải quyết. Cùng đọc kỹ đề bài và bắt tay vào làm nhé!

Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có kích thước xác định. Nếu tăng chiều dài thêm 8m và giảm chiều rộng 3m thì diện tích hình chữ nhật giảm 54m\(\text{^2}\). Nếu giảm chiều dài đi 4m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích hình chữ nhật tăng 32m\(\text{^2}\). Tính các kích thước của vườn.

Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, trước hết chúng ta cần gọi các đại lượng chưa biết là các biến số.

Bước 1: Đặt ẩn và lập biểu thức ban đầu

Gọi chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là \(L\) (mét).

Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là \(W\) (mét).

Điều kiện: \(L > 0\), \(W > 0\).

Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: \(S = L \cdot W\) (\(\text{m^2}\)).

Bước 2: Phân tích các trường hợp thay đổi kích thước và lập phương trình

Trường hợp 1: Tăng chiều dài thêm 8m và giảm chiều rộng 3m.

• Chiều dài mới: \(L’ = L + 8\) (mét)
• Chiều rộng mới: \(W’ = W – 3\) (mét)
• Điều kiện: Để chiều rộng mới có nghĩa, ta phải có \(W – 3 > 0 \Rightarrow W > 3\).
• Diện tích mới: \(S’ = (L + 8)(W – 3)\) (\(\text{m^2}\))

Theo đề bài, diện tích hình chữ nhật giảm 54m\(\text{^2}\) so với diện tích ban đầu. Tức là:

\(S’ = S – 54\)

\((L + 8)(W – 3) = L \cdot W – 54\)

Khai triển vế trái, ta được:

\(L \cdot W – 3L + 8W – 24 = L \cdot W – 54\)

Triệt tiêu \(L \cdot W\) ở cả hai vế:

\(-3L + 8W – 24 = -54\)

Chuyển hằng số sang vế phải:

\(-3L + 8W = -54 + 24\)

\(-3L + 8W = -30\)

Nhân cả hai vế với \(-1\) để phương trình đẹp hơn:

\(3L – 8W = 30\) (Phương trình 1)

Trường hợp 2: Giảm chiều dài đi 4m và tăng chiều rộng thêm 2m.

• Chiều dài mới: \(L” = L – 4\) (mét)
• Điều kiện: Để chiều dài mới có nghĩa, ta phải có \(L – 4 > 0 \Rightarrow L > 4\).
• Chiều rộng mới: \(W” = W + 2\) (mét)
• Diện tích mới: \(S” = (L – 4)(W + 2)\) (\(\text{m^2}\))

Theo đề bài, diện tích hình chữ nhật tăng 32m\(\text{^2}\) so với diện tích ban đầu. Tức là:

\(S” = S + 32\)

\((L – 4)(W + 2) = L \cdot W + 32\)

Khai triển vế trái, ta được:

\(L \cdot W + 2L – 4W – 8 = L \cdot W + 32\)

Triệt tiêu \(L \cdot W\) ở cả hai vế:

\(2L – 4W – 8 = 32\)

Chuyển hằng số sang vế phải:

\(2L – 4W = 32 + 8\)

\(2L – 4W = 40\)

Chia cả hai vế cho 2 để phương trình đơn giản hơn:

\(L – 2W = 20\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ hai trường hợp trên, chúng ta có một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

\( \begin{cases} 3L – 8W = 30 \quad (1) \\ L – 2W = 20 \quad (2) \end{cases} \)

Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Từ phương trình (2), ta biểu diễn \(L\) theo \(W\):

\(L = 2W + 20\)

Thế biểu thức của \(L\) vào phương trình (1):

\(3(2W + 20) – 8W = 30\)

Khai triển và thu gọn:

\(6W + 60 – 8W = 30\)

\(-2W + 60 = 30\)

\(-2W = 30 – 60\)

\(-2W = -30\)

\(W = \frac{-30}{-2}\)

\(W = 15\)

Vậy, chiều rộng của mảnh vườn là 15 mét.

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(W\) vào biểu thức của \(L\):

\(L = 2W + 20\)

\(L = 2(15) + 20\)

\(L = 30 + 20\)

\(L = 50\)

Vậy, chiều dài của mảnh vườn là 50 mét.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chiều dài \(L = 50\)m và chiều rộng \(W = 15\)m thỏa mãn các điều kiện ban đầu (\(L > 0\), \(W > 0\)) và các điều kiện phát sinh trong quá trình giải (\(L > 4\), \(W > 3\)).

Kiểm tra lại kết quả:

• Diện tích ban đầu: \(50 \cdot 15 = 750\) (\(\text{m^2}\))
• Trường hợp 1: \((50 + 8)(15 – 3) = 58 \cdot 12 = 696\) (\(\text{m^2}\)).
  Diện tích giảm: \(750 – 696 = 54\) (\(\text{m^2}\)). (Đúng)
• Trường hợp 2: \((50 – 4)(15 + 2) = 46 \cdot 17 = 782\) (\(\text{m^2}\)).
  Diện tích tăng: \(782 – 750 = 32\) (\(\text{m^2}\)). (Đúng)

Vậy, các kích thước của mảnh vườn là chiều dài 50m và chiều rộng 15m.

Kết luận:

Chiều dài của mảnh vườn là 50 mét.

Chiều rộng của mảnh vườn là 15 mét.

Các em thấy đấy, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách đặt ẩn, lập phương trình và giải hệ một cách cẩn thận thì sẽ không có gì khó khăn cả. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững kiến thức này nhé!