Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến hệ phương trình nhé. Thầy sẽ hướng dẫn các em cách giải chi tiết từng phần của bài tập số 3.

Bài 3. Tìm tất cả các cặp số thực (a,b) thoã mãn

a) \(a^2 +1 = 2b\) và \(b^2 +1 = 2a\).

Đây là một hệ phương trình đối xứng. Khi gặp dạng hệ phương trình này, chúng ta có thể thử trừ hai phương trình cho nhau hoặc xét hiệu của chúng.

Bước 1: Trừ hai phương trình của hệ.
Ta có hai phương trình:
(1) \(a^2 +1 = 2b\)
(2) \(b^2 +1 = 2a\)

Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2), ta được:
\( (a^2 + 1) – (b^2 + 1) = 2b – 2a \)
\( a^2 – b^2 = 2b – 2a \)
\( a^2 – b^2 = -2(a – b) \)

Bước 2: Phân tích và biến đổi phương trình vừa tìm được.
Nhận thấy \(a^2 – b^2\) là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
\( (a – b)(a + b) = -2(a – b) \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đặt nhân tử chung:
\( (a – b)(a + b) + 2(a – b) = 0 \)
Đặt nhân tử chung \( (a – b) \) ra ngoài:
\( (a – b)(a + b + 2) = 0 \)

Bước 3: Xét các trường hợp.
Từ phương trình trên, ta có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: \( a – b = 0 \Rightarrow a = b \)
Trường hợp 2: \( a + b + 2 = 0 \Rightarrow a + b = -2 \)

Bước 4: Thay các trường hợp vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(a\) và \(b\).

Xét Trường hợp 1: \( a = b \)
Thay \( a = b \) vào phương trình (1):
\( a^2 + 1 = 2a \)
\( a^2 – 2a + 1 = 0 \)
Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
\( (a – 1)^2 = 0 \)
\( a – 1 = 0 \)
\( a = 1 \)
Vì \( a = b \), nên \( b = 1 \).
Vậy ta có cặp nghiệm đầu tiên là \( (a, b) = (1, 1) \).

Kiểm tra lại với phương trình ban đầu:
Nếu \( a=1, b=1 \):
\( 1^2 + 1 = 2(1) \Rightarrow 1+1=2 \Rightarrow 2=2 \) (Đúng)
\( 1^2 + 1 = 2(1) \Rightarrow 1+1=2 \Rightarrow 2=2 \) (Đúng)

Xét Trường hợp 2: \( a + b = -2 \Rightarrow b = -2 – a \)
Thay \( b = -2 – a \) vào phương trình (1):
\( a^2 + 1 = 2(-2 – a) \)
\( a^2 + 1 = -4 – 2a \)
\( a^2 + 2a + 1 + 4 = 0 \)
\( a^2 + 2a + 5 = 0 \)

Để giải phương trình bậc hai này, ta tính biệt thức Delta: \( \Delta = b^2 – 4ac \)
Ở đây, \( a = 1, b = 2, c = 5 \).
\( \Delta = 2^2 – 4(1)(5) \)
\( \Delta = 4 – 20 \)
\( \Delta = -16 \)

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình bậc hai \( a^2 + 2a + 5 = 0 \) vô nghiệm thực. Do đó, trường hợp này không cho ta cặp số thực \( (a, b) \). Vậy, chỉ có một cặp số thực \( (a,b) \) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \( (1, 1) \). b) \(4a^2 +12b+9 = 0\) và \(4b^2 +12a+9 = 0\).

Đây cũng là một hệ phương trình đối xứng. Ta sẽ áp dụng phương pháp tương tự như phần a).

Bước 1: Trừ hai phương trình của hệ.
Ta có hai phương trình:
(3) \(4a^2 +12b+9 = 0\)
(4) \(4b^2 +12a+9 = 0\)

Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (4), ta được:
\( (4a^2 + 12b + 9) – (4b^2 + 12a + 9) = 0 – 0 \)
\( 4a^2 + 12b + 9 – 4b^2 – 12a – 9 = 0 \)
\( 4a^2 – 4b^2 + 12b – 12a = 0 \)
Chia cả hai vế cho 4:
\( a^2 – b^2 + 3b – 3a = 0 \)
\( a^2 – b^2 – 3a + 3b = 0 \)

Bước 2: Phân tích và biến đổi phương trình vừa tìm được.
Nhóm các hạng tử tương tự nhau:
\( (a^2 – b^2) – (3a – 3b) = 0 \)
\( (a – b)(a + b) – 3(a – b) = 0 \)
Đặt nhân tử chung \( (a – b) \) ra ngoài:
\( (a – b)(a + b – 3) = 0 \)

Bước 3: Xét các trường hợp.
Từ phương trình trên, ta có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: \( a – b = 0 \Rightarrow a = b \)
Trường hợp 2: \( a + b – 3 = 0 \Rightarrow a + b = 3 \)

Bước 4: Thay các trường hợp vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(a\) và \(b\).

Xét Trường hợp 1: \( a = b \)
Thay \( a = b \) vào phương trình (3):
\( 4a^2 + 12a + 9 = 0 \)
Đây là hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
\( (2a)^2 + 2(2a)(3) + 3^2 = 0 \)
\( (2a + 3)^2 = 0 \)
\( 2a + 3 = 0 \)
\( 2a = -3 \)
\( a = -\frac{3}{2} \)
Vì \( a = b \), nên \( b = -\frac{3}{2} \).
Vậy ta có cặp nghiệm đầu tiên là \( (a, b) = (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}) \).

Kiểm tra lại với phương trình ban đầu:
Nếu \( a = -\frac{3}{2}, b = -\frac{3}{2} \):
\( 4(-\frac{3}{2})^2 + 12(-\frac{3}{2}) + 9 = 0 \)
\( 4(\frac{9}{4}) – 18 + 9 = 0 \)
\( 9 – 18 + 9 = 0 \)
\( 0 = 0 \) (Đúng)
Do phương trình (3) và (4) có dạng đối xứng, nên khi \(a=b\) thì cả hai đều đúng.

Xét Trường hợp 2: \( a + b = 3 \Rightarrow b = 3 – a \)
Thay \( b = 3 – a \) vào phương trình (3):
\( 4a^2 + 12(3 – a) + 9 = 0 \)
\( 4a^2 + 36 – 12a + 9 = 0 \)
\( 4a^2 – 12a + 45 = 0 \)

Để giải phương trình bậc hai này, ta tính biệt thức Delta: \( \Delta = b^2 – 4ac \)
Ở đây, \( a = 4, b = -12, c = 45 \).
\( \Delta = (-12)^2 – 4(4)(45) \)
\( \Delta = 144 – 16(45) \)
\( \Delta = 144 – 720 \)
\( \Delta = -576 \)

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình bậc hai \( 4a^2 - 12a + 45 = 0 \) vô nghiệm thực. Do đó, trường hợp này không cho ta cặp số thực \( (a, b) \). Vậy, chỉ có một cặp số thực \( (a,b) \) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \( (-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}) \). Chúc các em ôn tập thật tốt! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.