Bài 3:

Với \(x \neq k\pi\) với \(k \in Z\), ta có biểu thức:

\(P ( x ) = \frac{\sin x}{1 -\cos x } + \frac{\sin ( – x )}{1 – \cos ( – x )}\)

a) Rút gọn \(P(x)\)

Để rút gọn \(P(x)\), chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác quen thuộc.

Trước hết, chúng ta nhớ lại các công thức sau:

• \(\sin(-x) = -\sin x\)
• \(\cos(-x) = \cos x\)

Áp dụng các công thức này vào biểu thức \(P(x)\):

\(P ( x ) = \frac{\sin x}{1 -\cos x } + \frac{-\sin x}{1 – \cos x }\)

Bây giờ, ta thấy hai phân số có mẫu số giống nhau. Do đó, ta có thể cộng trực tiếp tử số:

\(P ( x ) = \frac{\sin x – \sin x}{1 -\cos x }\)

Thực hiện phép trừ ở tử số:

\(P ( x ) = \frac{0}{1 -\cos x }\)

Vì \(1 – \cos x \neq 0\) (do điều kiện \(x \neq k\pi\)), nên:

\(P ( x ) = 0\)

Vậy, biểu thức \(P(x)\) sau khi rút gọn là \(P(x) = 0\).

b) Nhận xét về tính chẵn/lẻ của \( P(x). \)

Để nhận xét tính chẵn/lẻ của một hàm số, ta cần xét giá trị của hàm số tại \(-x\) so với giá trị tại \(x\).

Hàm số \(f(x)\) được gọi là chẵn nếu \(f(-x) = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.

Hàm số \(f(x)\) được gọi là lẻ nếu \(f(-x) = -f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.

Từ câu a), chúng ta đã rút gọn được \(P(x) = 0\).

Bây giờ, chúng ta xét \(P(-x)\):

\(P(-x) = 0\)

Ta thấy:

\(P(-x) = 0 = P(x)\)

Và:

\(P(-x) = 0 = -0 = -P(x)\)

Do cả hai điều kiện \(P(-x) = P(x)\) và \(P(-x) = -P(x)\) đều đúng với hàm số \(P(x) = 0\), nên hàm số này vừa có tính chẵn, vừa có tính lẻ.

Tuy nhiên, theo quy ước, khi một hàm số thỏa mãn cả hai tính chất chẵn và lẻ, ta thường nói nó là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Trong trường hợp này, \(P(x) = 0\) được xem là hàm số chẵn (và cũng là hàm số lẻ).

c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(Q ( x ) = P ( x ) + \frac{1}{P ( x )}\) trên miền xác định.

Chúng ta đã biết \(P(x) = 0\). Tuy nhiên, ở đây xuất hiện một vấn đề quan trọng.

Biểu thức \(Q(x)\) có chứa \(\frac{1}{P(x)}\). Nếu \(P(x) = 0\), thì \(\frac{1}{P(x)}\) sẽ không xác định (chia cho 0).

Do đó, chúng ta cần xem xét lại điều kiện xác định của \(P(x)\) và \(Q(x)\).

Miền xác định của \(P(x)\) là \(x \neq k\pi\) với \(k \in Z\).

Tuy nhiên, để \(Q(x) = P(x) + \frac{1}{P(x)}\) xác định, ta phải có \(P(x) \neq 0\).

Nhưng chúng ta đã rút gọn được \(P(x) = 0\) trên toàn bộ miền xác định ban đầu.

Điều này dẫn đến một mâu thuẫn. Có thể đề bài có một chút nhầm lẫn hoặc ý đồ khác. Nếu hiểu đúng theo biểu thức đã cho:

• Khi \(P(x) = 0\), thì \(\frac{1}{P(x)}\) không xác định.
• Do đó, biểu thức \(Q(x) = P(x) + \frac{1}{P(x)}\) không xác định trên toàn bộ miền xác định của \(P(x)\).

Nếu giả sử đề bài muốn hỏi về một biểu thức khác hoặc có một điều kiện bổ sung để \(P(x)\) khác 0:

Giả sử, chỉ là giả sử để chúng ta có thể làm tiếp, rằng có một cách nào đó để \(P(x)\) có thể nhận các giá trị khác 0 (ví dụ, nếu có sai sót trong đề bài và \(P(x)\) thực sự không bằng 0).

Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương.

Với \(a > 0\), ta có \(a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2\).

Dấu bằng xảy ra khi \(a = \frac{1}{a}\), tức là \(a^2 = 1\), suy ra \(a = 1\) (vì \(a > 0\)).

Áp dụng vào \(Q(x) = P(x) + \frac{1}{P(x)}\), nếu \(P(x) > 0\), thì:

\(Q(x) \ge 2\)

Giá trị nhỏ nhất của \(Q(x)\) là 2, đạt được khi \(P(x) = 1\).

Nếu \(P(x) < 0\), đặt \(y = -P(x)\). Khi đó \(y > 0\). Ta có:

\(Q(x) = P(x) + \frac{1}{P(x)} = -y – \frac{1}{y} = -(y + \frac{1}{y})\)

Vì \(y + \frac{1}{y} \ge 2\), nên \(Q(x) = -(y + \frac{1}{y}) \le -2\).

Giá trị lớn nhất của \(Q(x)\) là -2, đạt được khi \(y = 1\), tức là \(P(x) = -1\).

Kết luận lại cho phần c) dựa trên đề bài đã cho:

Vì \(P(x) = 0\) trên miền xác định, biểu thức \(Q(x) = P(x) + \frac{1}{P(x)}\) chứa phép chia cho 0, do đó \(Q(x)\) không xác định trên miền xác định của \(P(x)\).

Nếu đề bài có ý khác, các em cần kiểm tra lại đề bài hoặc giả định rằng \(P(x)\) có thể khác 0 để áp dụng các kỹ thuật biến đổi.

Các em có câu hỏi gì về bài toán này không?