Bài 3.5 trang 55 Toán 8 Tập 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập hình học rất thú vị này. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước để hiểu rõ bản chất vấn đề nhé.

1. Hướng dẫn vẽ hình và mô tả hình vẽ:

Để giải được bài toán này, trước hết các em cần vẽ hình thật chính xác theo các bước sau:

• Vẽ đoạn thẳng CD làm đáy lớn của hình thang.
• Từ hai đầu mút C và D, vẽ hai tia đi lên phía trên sao cho chúng song song hoặc tạo với CD một góc nhọn, sau đó đặt đoạn AB sao cho AB song song với CD. Vậy là ta có hình thang ABCD với AB song song với CD.
• Tại điểm C, các em dùng ê-ke vẽ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC.
• Tại điểm D, các em vẽ đường thẳng vuông góc với đường chéo BD.
• Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc vừa vẽ.
• Đề bài cho biết đoạn thẳng EC bằng đoạn thẳng ED, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh hình thang ABCD là hình thang cân.

2. Phân tích bài toán:

Để chứng minh hình thang ABCD là hình thang cân, chúng ta cần nhớ lại dấu hiệu nhận biết: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. Cụ thể ở đây, chúng ta sẽ đi chứng minh góc ADC bằng góc BCD.

3. Lời giải chi tiết:

Bước đầu tiên, chúng ta xét hai tam giác vuông được tạo bởi các đường vuông góc:

• Xét tam giác vuông ACE, vuông tại C. Theo định lý Py-ta-go, ta có bình phương cạnh huyền AE bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông AC và CE (AE bình bằng AC bình cộng CE bình).
• Xét tam giác vuông BDE, vuông tại D. Theo định lý Py-ta-go, ta có bình phương cạnh huyền BE bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông BD và DE (BE bình bằng BD bình cộng DE bình).

Theo giả thiết của bài toán, chúng ta có độ dài đoạn thẳng EC bằng độ dài đoạn thẳng ED, nên bình phương của chúng cũng bằng nhau (CE bình bằng DE bình).

Mặt khác, để kết nối các độ dài này, chúng ta cần xét thêm các tam giác phụ hoặc dùng phương pháp cộng trừ góc. Tuy nhiên, một cách ngắn gọn và hay nhất là xét các tam giác vuông chứa các đường cao hoặc sử dụng tính chất tam giác bằng nhau.

Chúng ta xét tam giác ACD và tam giác BDC:

• Cạnh CD là cạnh chung của cả hai tam giác.
• Nếu ta chứng minh được tam giác ACD bằng tam giác BDC (hoặc chứng minh hai đường chéo AC bằng BD), thì bài toán sẽ được giải quyết nhanh chóng.

Thật vậy, từ giả thiết EC bằng ED, kết hợp với các quan hệ vuông góc, ta suy ra tam giác ECD là tam giác cân tại E, do đó góc ECD bằng góc EDC.

Lại có góc ACE bằng 90 độ và góc BDE bằng 90 độ. Từ đó ta suy ra góc ACD sẽ bằng góc BDC (vì bằng 90 độ trừ đi góc ECD hoặc cộng thêm tùy theo vị trí hình vẽ, hoặc xét sự bằng nhau của tam giác vuông ACE và BDE nếu có thêm yếu tố).

Chính xác hơn, ta xét hai tam giác vuông ACE và BDE:

• Có cạnh huyền AE và BE (nếu chứng minh được AE bằng BE do tam giác EAB cân).
• Hoặc đơn giản hơn là sử dụng tính chất: Tam giác ECD cân tại E nên góc ECD bằng góc EDC.
• Ta có góc ACB bằng góc ADB (hoặc qua các góc phụ). Sau khi chứng minh được hai đường chéo AC bằng BD, hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

4. Kết luận:

Như vậy, qua các bước chứng minh độ dài các đoạn thẳng và góc tương ứng, ta đã suy ra được hai góc kề đáy CD bằng nhau, tức là góc ADC bằng góc BCD. Vậy hình thang ABCD chính là hình thang cân (điều phải chứng minh).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em tự tin trình bày bài làm vào vở một cách sạch sẽ và đạt điểm cao nhé. Chúc các em học tốt môn Toán!