BÀI 4. Cho đường tròn (O; R) và dường kính AB. Lấy diễm C thuộc (O)…

Chào em, thầy/cô rất vui vì em đã gửi câu hỏi toán hình học lớp 9 này nhờ thầy cô giải đáp. Đây đều là những bài toán rất cơ bản và quan trọng trong chương trình học kỳ về đường tròn. Chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết từng bài nhé!

BÀI 4.

a) Tính số đo góc ABC:

• Xét tam giác ABC, ta có cạnh AB là đường kính của đường tròn tâm O. Điểm C nằm trên đường tròn nên góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Do đó, góc ACB bằng 90 độ, hay tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
• Theo giả thiết, đoạn thẳng AC bằng bán kính R, và đoạn thẳng AB bằng hai lần bán kính (2R) vì AB là đường kính.
• Trong tam giác vuông ABC, sin của góc ABC sẽ bằng độ dài cạnh đối chia cho cạnh huyền, tức là AC chia cho AB. Thay số vào ta được: R chia cho 2R, kết quả bằng 1 phần 2.
• Vì sin của góc ABC bằng 1 phần 2, suy ra số đo góc ABC bằng 30 độ.

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O:

• Xét tam giác OAC, ta có đoạn thẳng OA bằng OC (vì cùng là bán kính của đường tròn tâm O) và cùng bằng R. Lại có AC bằng R theo giả thiết. Suy ra tam giác OAC là tam giác đều.
• Vì là tam giác đều nên góc AOC bằng 60 độ.
• Mặt khác, góc AOC chính là góc ở tâm chắn cung AC, còn góc ABC là góc nội tiếp cùng chắn cung AC. Do đó, góc AOC gấp đôi góc ABC, tính ra bằng 60 độ (điều này hoàn toàn phù hợp).
• Xét tam giác OCM, theo giả thiết đường thẳng qua C vuông góc với OC nên góc OCM bằng 90 độ. Điều này có nghĩa là đoạn thẳng OC vuông góc với đường thẳng MC tại điểm C.
• Vì điểm C nằm trên đường tròn tâm O và OC vuông góc với đường thẳng MC tại C, theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, ta kết luận MC chính là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

BÀI 5.

a) Chứng minh AD vuông góc với BC tại I:

• Theo giả thiết, điểm A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Do đó, cung AB có số đo bằng cung AC.
• Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau thì sẽ căng hai dây bằng nhau, suy ra độ dài dây AB bằng độ dài dây AC. Điều này có nghĩa là tam giác ABC là tam giác cân tại A.
• Lại có đường kính AD đi qua đỉnh A của tam giác cân ABC. Theo tính chất của tam giác cân, đường kính (hoặc đường trung tuyến, đường phân giác) xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường cao.
• Từ đó, ta suy ra đường thẳng AD vuông góc với cạnh BC tại trung điểm I của BC.

b) Chứng minh xy là tiếp tuyến của đường tròn tâm O:

• Theo giả thiết, đường thẳng xy đi qua điểm A và song song với đường thẳng BC (xy song song với BC).
• Ở câu a, ta đã chứng minh được đường kính AD vuông góc với BC tại I.
• Áp dụng định lý từ tính chất song song sang vuông góc: Nếu hai đường thẳng song song mà một đường thẳng vuông góc với đường thứ ba thì đường thẳng còn lại cũng vuông góc với đường thứ ba đó. Do đó, đường thẳng xy sẽ vuông góc với đường kính AD tại điểm A.
• Vì điểm A nằm trên đường tròn tâm O và đường thẳng xy vuông góc với bán kính OA tại tiếp điểm A, theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, ta kết luận đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Chúc em học tập thật tốt! Nếu còn câu hỏi nào khác, em cứ mạnh dạn hỏi tiếp nhé.