Bài 4 – Lũy thừa

Để giải quyết các bài tập về lũy thừa, chúng ta cần nhớ lại các quy tắc cơ bản như nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số, lũy thừa của một phân số và thứ tự thực hiện phép tính.

a) Tính: \(2^3 \cdot 2^4\)

Lời giải:

Chúng ta áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
Trong trường hợp này, cơ số là 2, các số mũ là 3 và 4.

\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\)

Bây giờ, chúng ta tính giá trị của \(2^7\):

\(2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128\)

Vậy, \(2^3 \cdot 2^4 = 128\).

b) Tính: \(\frac{3^2}{3^5}\)

Lời giải:

Chúng ta áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) hoặc nếu \(n > m\), chúng ta có thể viết \(\frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}\).
Trong bài này, số mũ ở mẫu lớn hơn số mũ ở tử số, nên chúng ta dùng cách thứ hai cho dễ hiểu hơn ở cấp lớp 6.

\(\frac{3^2}{3^5} = \frac{1}{3^{5-2}} = \frac{1}{3^3}\)

Bây giờ, chúng ta tính giá trị của \(3^3\):

\(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\)

Vậy, \(\frac{3^2}{3^5} = \frac{1}{27}\).

c) Tính: \((\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{3})^2\)

Lời giải:

Đầu tiên, chúng ta tính giá trị của từng lũy thừa:

\((\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}\)

\((\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}\)

Bây giờ, chúng ta cộng hai phân số này. Để cộng hai phân số, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất của 4 và 9 là \(4 \cdot 9 = 36\).

\(\frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{81}{36}\)

\(\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{36}\)

Vậy, \((\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{3})^2 = \frac{81}{36} + \frac{4}{36} = \frac{81+4}{36} = \frac{85}{36}\).

d) Tính: \(5^2 – 2^3\)

Lời giải:

Chúng ta tính giá trị của từng lũy thừa trước:

\(5^2 = 5 \cdot 5 = 25\)

\(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)

Bây giờ, chúng ta thực hiện phép trừ:

\(25 – 8 = 17\)

Vậy, \(5^2 – 2^3 = 17\).

Bài 5 – Tỉ lệ thuận

Cho x,y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, biết \(x=4\) thì \(y=12\).

Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau nghĩa là có một hằng số \(k\) (hệ số tỉ lệ) sao cho \(y = kx\) (hoặc \(\frac{y}{x} = k\)).

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

Lời giải:

Theo định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có \(y = kx\).
Thay các giá trị đã biết \(x=4\) và \(y=12\) vào công thức:

\(12 = k \cdot 4\)

Để tìm \(k\), chúng ta chia 12 cho 4:

\(k = \frac{12}{4}\)
\(k = 3\)

Vậy, hệ số tỉ lệ là 3. Quan hệ giữa x và y là \(y = 3x\).

b) Tìm y khi x=7.

Lời giải:

Chúng ta đã biết hệ số tỉ lệ \(k=3\), nên \(y = 3x\).
Thay \(x=7\) vào công thức:

\(y = 3 \cdot 7\)
\(y = 21\)

Vậy, khi \(x=7\) thì \(y=21\).

c) Tìm x khi y=30.

Lời giải:

Chúng ta dùng công thức \(y = 3x\).
Thay \(y=30\) vào công thức:

\(30 = 3x\)

Để tìm \(x\), chúng ta chia 30 cho 3:

\(x = \frac{30}{3}\)
\(x = 10\)

Vậy, khi \(y=30\) thì \(x=10\).

d) Tìm y khi x=10.

Lời giải:

Chúng ta dùng công thức \(y = 3x\).
Thay \(x=10\) vào công thức:

\(y = 3 \cdot 10\)
\(y = 30\)

Vậy, khi \(x=10\) thì \(y=30\).

Bài 6 – Hình học

Cho tam giác ABC có \(\hat{A}=50^\circ\), \(\hat{B}=70^\circ\).

a) Tính C.

Lời giải:

Trong một tam giác, tổng ba góc luôn bằng \(180^\circ\).
Nghĩa là: \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ\).

Thay các giá trị góc đã biết vào công thức:

\(50^\circ + 70^\circ + \hat{C} = 180^\circ\)

\(120^\circ + \hat{C} = 180^\circ\)

Để tìm \(\hat{C}\), chúng ta lấy \(180^\circ\) trừ đi \(120^\circ\):

\(\hat{C} = 180^\circ – 120^\circ\)
\(\hat{C} = 60^\circ\)

Vậy, góc C của tam giác ABC là \(60^\circ\).

b) So sánh AC và AB.

Lời giải:

Để so sánh độ dài hai cạnh trong một tam giác, chúng ta dựa vào định lý về mối quan hệ giữa cạnh và góc đối diện: “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn”.

Chúng ta đã biết các góc của tam giác ABC là:
\(\hat{A} = 50^\circ\)
\(\hat{B} = 70^\circ\)
\(\hat{C} = 60^\circ\) (vừa tính ở câu a)

Cạnh AC là cạnh đối diện với góc B.
Cạnh AB là cạnh đối diện với góc C.

So sánh hai góc B và C: \(\hat{B} = 70^\circ\) và \(\hat{C} = 60^\circ\).
Ta thấy \(\hat{B} > \hat{C}\).

Vì góc B lớn hơn góc C, nên cạnh đối diện với góc B (là AC) sẽ lớn hơn cạnh đối diện với góc C (là AB).

Vậy, \(AC > AB\).

c) Nếu AB=AC, tính B và C.

Lời giải:

Nếu \(AB=AC\), thì tam giác ABC là tam giác cân tại A. Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Vậy, \(\hat{B} = \hat{C}\).

Tổng ba góc trong tam giác vẫn là \(180^\circ\): \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ\).
Thay \(\hat{A} = 50^\circ\) và \(\hat{C} = \hat{B}\) vào công thức:

\(50^\circ + \hat{B} + \hat{B} = 180^\circ\)

\(50^\circ + 2\hat{B} = 180^\circ\)

Trừ \(50^\circ\) ở cả hai vế:

\(2\hat{B} = 180^\circ – 50^\circ\)
\(2\hat{B} = 130^\circ\)

Chia cả hai vế cho 2 để tìm \(\hat{B}\):

\(\hat{B} = \frac{130^\circ}{2}\)
\(\hat{B} = 65^\circ\)

Vì \(\hat{C} = \hat{B}\), nên \(\hat{C} = 65^\circ\).

Vậy, nếu AB=AC, thì \(\hat{B} = 65^\circ\) và \(\hat{C} = 65^\circ\).

d) Gọi M là trung điểm của BC. Nêu tính chất của đường trung tuyến AM trong trường hợp AB=AC.

Lời giải:

Trong trường hợp tam giác ABC có \(AB=AC\), tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A.
M là trung điểm của cạnh đáy BC, nên AM là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh (đỉnh của góc tạo bởi hai cạnh bằng nhau) đồng thời là:

• Đường cao (vuông góc với cạnh đáy).
• Đường phân giác của góc ở đỉnh.

Vậy, trong trường hợp này, đường trung tuyến AM có các tính chất sau:

• AM vuông góc với BC (tức là \(AM \perp BC\)).
• AM là tia phân giác của góc A (tức là \(\hat{BAM} = \hat{CAM}\)).

Các em thấy không, Toán học thật thú vị khi chúng ta nắm vững các kiến thức cơ bản. Cố gắng luyện tập thường xuyên để làm tốt hơn nữa nhé!