Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về hình học và đại số rất thú vị. Chúng ta sẽ cùng nhau “khám phá” khu vườn này nhé!

Bài toán: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi \(46m\), nếu tăng chiều dài \(5m\) và giảm chiều rộng \(3m\) thì chiều dài gấp \(4\) lần chiều rộng. Hỏi diện tích khu vườn là bao nhiêu?

Đây là dạng bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình. Chúng ta sẽ đi từng bước một cách cẩn thận để tìm ra lời giải chính xác.

---

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tóm tắt và phân tích bài toán

Để dễ hình dung, các em có thể tóm tắt các thông tin đã cho và thông tin cần tìm như sau:

• Hình dạng: Khu vườn hình chữ nhật.
• Chu vi ban đầu: \(46m\).
• Thay đổi:
  • Chiều dài tăng \(5m\).
  • Chiều rộng giảm \(3m\).
• Mối quan hệ sau thay đổi: Chiều dài mới gấp \(4\) lần chiều rộng mới.
• Yêu cầu: Tính diện tích khu vườn ban đầu.

Thầy sẽ lập một bảng để các em dễ dàng theo dõi sự thay đổi của các đại lượng:

Đại lượng	Ban đầu	Sau khi thay đổi	Mối quan hệ
Chiều dài	\(l\) (m)	\(l + 5\) (m)
Chiều rộng	\(w\) (m)	\(w – 3\) (m)
Chu vi ban đầu	\(2(l+w) = 46\)
Mối quan hệ chiều dài và chiều rộng sau thay đổi			\(l+5 = 4(w-3)\)

Bước 2: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn

Gọi chiều dài của khu vườn hình chữ nhật ban đầu là \(l\) (mét).
Gọi chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật ban đầu là \(w\) (mét).

Điều kiện: Chiều dài và chiều rộng phải là các số dương.

\(l > 0\), \(w > 0\)

Ngoài ra, vì chiều rộng sau khi giảm \(3m\) vẫn phải là một số dương để có nghĩa, nên ta cần có:

\(w – 3 > 0 \implies w > 3\)
Và thông thường, chiều dài lớn hơn chiều rộng: \(l > w\)

Bước 3: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin đã cho, chúng ta sẽ thiết lập hai phương trình:

Phương trình 1: Từ chu vi ban đầu

Chu vi của khu vườn là \(46m\). Công thức tính chu vi hình chữ nhật là \(2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})\).
Vậy, ta có phương trình:

\(2(l + w) = 46\)
Chia cả hai vế cho \(2\), ta được:
\(l + w = 23\) (1)

Phương trình 2: Từ mối quan hệ sau khi thay đổi kích thước

Khi tăng chiều dài \(5m\), chiều dài mới là: \(l’ = l + 5\).
Khi giảm chiều rộng \(3m\), chiều rộng mới là: \(w’ = w – 3\).
Theo đề bài, chiều dài mới gấp \(4\) lần chiều rộng mới, nên ta có phương trình:

\(l’ = 4w’\)
Thay \(l’\) và \(w’\) bằng các biểu thức chứa \(l\) và \(w\):
\(l + 5 = 4(w – 3)\)
Khai triển và rút gọn phương trình này:
\(l + 5 = 4w – 12\)
Chuyển các số hạng có ẩn về một vế và hằng số về vế kia:
\(l – 4w = -12 – 5\)
\(l – 4w = -17\) (2)

Bây giờ chúng ta đã có một hệ phương trình gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

\(\begin{cases}
l + w = 23 \quad (1) \\
l – 4w = -17 \quad (2)
\end{cases}\)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số (khử ẩn) hoặc phương pháp thế.

Thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số, bằng cách lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) để khử ẩn \(l\):

\((l + w) – (l – 4w) = 23 – (-17)\)
\(l + w – l + 4w = 23 + 17\)
\(5w = 40\)
\(w = \frac{40}{5}\)
\(w = 8\)

Bây giờ, thay giá trị của \(w = 8\) vào phương trình (1) để tìm \(l\):

\(l + 8 = 23\)
\(l = 23 – 8\)
\(l = 15\)

Vậy, chiều dài ban đầu của khu vườn là \(15m\) và chiều rộng ban đầu là \(8m\).

Bước 5: Kiểm tra điều kiện

Kiểm tra xem các giá trị \(l = 15\) và \(w = 8\) có thỏa mãn các điều kiện ban đầu không:

• \(l = 15 > 0\) (Thỏa mãn)
• \(w = 8 > 0\) (Thỏa mãn)
• \(w = 8 > 3\) (Thỏa mãn điều kiện chiều rộng sau khi giảm vẫn dương)
• \(l = 15 > w = 8\) (Thỏa mãn chiều dài lớn hơn chiều rộng)

Các giá trị tìm được hoàn toàn phù hợp với các điều kiện của bài toán.

Bước 6: Tính diện tích khu vườn

Đề bài yêu cầu tính diện tích khu vườn ban đầu. Công thức tính diện tích hình chữ nhật là \(S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng}\).

Với \(l = 15m\) và \(w = 8m\), diện tích khu vườn là:

\(S = l \times w = 15 \times 8 = 120\)

Đơn vị của diện tích là mét vuông (m\(^2\)).

Bước 7: Kết luận

Vậy, diện tích của khu vườn ban đầu là \(120m^2\).

---

Đáp số:

Diện tích khu vườn là \(120m^2\).

Các em thấy không, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta đi từng bước một, đặt ẩn, lập phương trình và giải một cách có hệ thống thì sẽ tìm ra lời giải đúng. Hãy luôn nhớ đọc kỹ đề bài và kiểm tra lại kết quả nhé!