Chào các em học sinh!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hình học kết hợp với việc lập hệ phương trình, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Đề bài: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 112m. Biết rằng nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì khu vườn trở thành hình vuông. Tìm diện tích của khu vườn ban đầu?

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và Đặt ẩn

Bài toán yêu cầu tìm diện tích khu vườn ban đầu, tức là chúng ta cần tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn. Vì vậy, chúng ta sẽ đặt ẩn cho hai đại lượng này.

Gọi chiều dài của khu vườn ban đầu là \(a\) (mét).

Gọi chiều rộng của khu vườn ban đầu là \(b\) (mét).

Điều kiện: \(a > 0\), \(b > 0\). Vì đây là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, nên chiều dài phải lớn hơn hoặc bằng chiều rộng, tức là \(a \ge b\).

Bước 2: Thiết lập các phương trình dựa trên dữ kiện của bài toán

Dữ kiện 1: “Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 112m.”

Công thức tính chu vi hình chữ nhật là: \(P = 2 \times (chiều\ dài + chiều\ rộng)\).

Áp dụng vào bài toán, ta có phương trình thứ nhất:

\(2 \times (a + b) = 112\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(a + b = 56\) (Phương trình 1)

Dữ kiện 2: “Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì khu vườn trở thành hình vuông.”

Chiều rộng mới là: \(4 \times b\) (mét)

Chiều dài mới là: \(3 \times a\) (mét)

Khi khu vườn trở thành hình vuông, điều đó có nghĩa là chiều dài mới bằng chiều rộng mới.

Từ đó, ta có phương trình thứ hai:

\(3a = 4b\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có một hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

\(1) \quad a + b = 56\)

\(2) \quad 3a = 4b\)

Từ phương trình (2), chúng ta có thể biểu diễn \(a\) theo \(b\) (hoặc \(b\) theo \(a\)).

Chẳng hạn, từ \(3a = 4b\), suy ra \(a = \frac{4b}{3}\).

Bây giờ, thay biểu thức của \(a\) vào phương trình (1):

\(\frac{4b}{3} + b = 56\)

Để cộng hai phân số, chúng ta quy đồng mẫu số:

\(\frac{4b}{3} + \frac{3b}{3} = 56\)

\(\frac{4b + 3b}{3} = 56\)

\(\frac{7b}{3} = 56\)

Nhân cả hai vế với 3:

\(7b = 56 \times 3\)

\(7b = 168\)

Chia cả hai vế cho 7:

\(b = \frac{168}{7}\)

\(b = 24\)

Vậy, chiều rộng của khu vườn ban đầu là 24 mét.

Bây giờ, chúng ta tìm chiều dài \(a\) bằng cách thay giá trị của \(b\) vào phương trình (1) (hoặc phương trình (2)):

Sử dụng phương trình (1): \(a + b = 56\)

\(a + 24 = 56\)

\(a = 56 – 24\)

\(a = 32\)

Vậy, chiều dài của khu vườn ban đầu là 32 mét.

Kiểm tra lại điều kiện \(a \ge b\): \(32 \ge 24\), thỏa mãn.

Bước 4: Tính toán diện tích ban đầu của khu vườn

Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức: \(S = chiều\ dài \times chiều\ rộng\).

\(S = a \times b\)

\(S = 32 \times 24\)

\(S = 768\)

Vậy, diện tích của khu vườn ban đầu là 768 mét vuông.

Bước 5: Kết luận

Diện tích của khu vườn ban đầu là 768m\(^2\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững dạng bài này nhé!