Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết Bài 4: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức. Đây là một dạng bài rất quen thuộc, giúp chúng ta ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng tính toán giá trị biểu thức. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

— Lời giải chi tiết —

a) A = \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8\) với \(x=8\).

Bước 1: Rút gọn biểu thức A.

Chúng ta nhận thấy biểu thức A có dạng của hằng đẳng thức lập phương của một tổng: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

Ta có:

\(A = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)
\(= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3\)

So sánh với hằng đẳng thức, ta thấy \(a=x\) và \(b=2\).

Vậy, \(A = (x+2)^3\).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức A với \(x=8\).

Thay \(x=8\) vào biểu thức đã rút gọn, ta được:

\(A = (8+2)^3\)
\(= (10)^3\)
\(= 1000\)

Vậy, giá trị của biểu thức A là 1000.

b) B = \(x^3 – 3x^2 + 3x – 1\) với \(x=101\).

Bước 1: Rút gọn biểu thức B.

Chúng ta nhận thấy biểu thức B có dạng của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).

Ta có:

\(B = x^3 – 3x^2 + 3x – 1\)
\(= x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 – 1^3\)

So sánh với hằng đẳng thức, ta thấy \(a=x\) và \(b=1\).

Vậy, \(B = (x-1)^3\).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức B với \(x=101\).

Thay \(x=101\) vào biểu thức đã rút gọn, ta được:

\(B = (101-1)^3\)
\(= (100)^3\)
\(= 1000000\)

Vậy, giá trị của biểu thức B là 1000000.

c) C = \((2x-y)^3 – 6(y-2x)^2 – 12(y-2x) – 8\) với \(x=7, y=2\).

Bước 1: Rút gọn biểu thức C.

Chúng ta để ý thấy các hạng tử có chứa \((2x-y)\) và \((y-2x)\). Ta có mối quan hệ: \((y-2x) = -(2x-y)\).

Áp dụng mối quan hệ này vào biểu thức C:

\((y-2x)^2 = (-(2x-y))^2 = (2x-y)^2\)

Thay vào biểu thức C:

\(C = (2x-y)^3 – 6(2x-y)^2 – 12(-(2x-y)) – 8\)
\(= (2x-y)^3 – 6(2x-y)^2 + 12(2x-y) – 8\)

Đặt \(A = 2x-y\). Biểu thức C trở thành:

\(C = A^3 – 6A^2 + 12A – 8\)

Đây lại là dạng của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).

Ta có:

\(C = A^3 – 3 \cdot A^2 \cdot 2 + 3 \cdot A \cdot 2^2 – 2^3\)

So sánh với hằng đẳng thức, ta thấy \(a=A\) và \(b=2\).

Vậy, \(C = (A-2)^3\).

Thay \(A = 2x-y\) trở lại:

\(C = ((2x-y)-2)^3\)
\(= (2x-y-2)^3\)

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức C với \(x=7, y=2\).

Thay \(x=7\) và \(y=2\) vào biểu thức đã rút gọn, ta được:

\(C = (2 \cdot 7 – 2 – 2)^3\)
\(= (14 – 2 – 2)^3\)
\(= (12 – 2)^3\)
\(= (10)^3\)
\(= 1000\)

Vậy, giá trị của biểu thức C là 1000.

d) D = \(2(x^3+y^3) – 3(x^2+y^2)\) với \(x+y=1\).

Bước 1: Rút gọn biểu thức D dựa trên điều kiện \(x+y=1\).

Chúng ta sử dụng các hằng đẳng thức liên quan đến tổng và tích của x, y:

1. Hằng đẳng thức cho tổng bình phương: \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \Rightarrow x^2+y^2 = (x+y)^2 – 2xy\)

2. Hằng đẳng thức cho tổng lập phương: \((x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \Rightarrow x^3+y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)\)

Với điều kiện \(x+y=1\), ta có:

\(x^2+y^2 = (1)^2 – 2xy = 1 – 2xy\)

\(x^3+y^3 = (1)^3 – 3xy(1) = 1 – 3xy\)

Bây giờ, thay các biểu thức này vào D:

\(D = 2(x^3+y^3) – 3(x^2+y^2)\)
\(= 2(1 – 3xy) – 3(1 – 2xy)\)

Bước 2: Thực hiện các phép tính và rút gọn D.

\(D = 2 \cdot 1 – 2 \cdot 3xy – 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2xy\)
\(= 2 – 6xy – 3 + 6xy\)

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\(D = (2 – 3) + (-6xy + 6xy)\)
\(= -1 + 0\)
\(= -1\)

Vậy, giá trị của biểu thức D là -1. Giá trị này không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của x và y, miễn là tổng của chúng bằng 1.

Các em thấy đó, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ giúp chúng ta rút gọn biểu thức một cách hiệu quả và tính toán nhanh chóng hơn rất nhiều! Hãy tiếp tục luyện tập để thành thạo hơn nhé!