Bài 5: Cho ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng…

Chào em, thầy/cô rất vui vì em đã chủ động gửi câu hỏi về bài toán hình học lớp 7 này. Đây là một bài toán khá hay, kết hợp giữa kiến thức về tam giác bằng nhau và các đường đồng quy trong tam giác. Em hãy chuẩn bị giấy bút và theo dõi thật kỹ từng bước hướng dẫn dưới đây nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và định hướng cách làm

Để chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng DE, phương pháp quen thuộc và hiệu quả nhất trong hình học lớp 7 là chứng minh K là chân đường cao hạ từ một đỉnh, hoặc sử dụng tính chất đường trung bình, hoặc tạo ra các tam giác bằng nhau chứa các đoạn thẳng bằng nhau. Trong bài này, chúng ta sẽ kẻ thêm đường phụ để tạo ra mối quan hệ về góc và cạnh, cụ thể là chứng minh K chia đôi đoạn thẳng DE dựa trên các tam giác bằng nhau.

Bước 2: Vẽ hình phụ và chuẩn bị các mối quan hệ góc

• Từ điểm D, em kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AH và cắt đường thẳng AH tại một điểm (giả sử gọi là điểm M).
• Từ điểm E, em cũng kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AH và cắt đường thẳng AH tại một điểm (giả sử gọi là điểm N).
• Như vậy, ta có các đường thẳng DM và EN cùng vuông góc với đường thẳng AH. Do đó, đường thẳng DM và đường thẳng EN sẽ song song với nhau (vì cùng vuông góc với một đường thẳng).

Bước 3: Chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các đoạn thẳng bằng nhau

• Xét tam giác vuông chứa cạnh AB và tam giác vuông chứa đoạn thẳng vuông góc vừa dựng, em sẽ chứng minh được tam giác vuông đỉnh B bằng với tam giác vuông đỉnh M. Từ đó suy ra độ dài đoạn thẳng DM bằng với độ dài đoạn thẳng AH.
• Tương tự như vậy, xét cặp tam giác vuông ở phía bên AC, em sẽ chứng minh được đoạn thẳng EN cũng bằng với đoạn thẳng AH.
• Từ hai điều trên, ta suy ra độ dài đoạn thẳng DM bằng với độ dài đoạn thẳng EN (vì cùng bằng AH).

Bước 4: Chứng minh K là trung điểm của DE

• Bây giờ, em hãy quan sát tam giác chứa điểm D, K và tam giác chứa điểm E, K (được tạo bởi đường thẳng AH cắt DE tại K và các đường vuông góc vừa kẻ).
• Xét hai tam giác vuông tạo thành bởi các góc so le trong (do DM song song với EN), ta có:
  • Cạnh góc vuông DM bằng cạnh góc vuông EN (đã chứng minh ở bước 3).
  • Góc so le trong bằng nhau.
• Do đó, hai tam giác vuông chứa điểm K này bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc (hoặc cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
• Từ sự bằng nhau của hai tam giác đó, ta suy ra cạnh DK bằng với cạnh EK.
• Vì điểm K nằm giữa D và E, đồng thời đoạn thẳng DK bằng đoạn thẳng EK, nên ta kết luận K chính là trung điểm của đoạn thẳng DE. Điều phải chứng minh đã hoàn thành!

Lời khuyên từ giáo viên: Hình học lớp 7 đòi hỏi em phải vẽ hình thật chính xác và kiên nhẫn kẻ thêm các đường phụ vuông góc. Em hãy vẽ lại hình ra vở, ghi rõ giả thiết kết luận và tự trình bày lại các bước lập luận trên. Chắc chắn em sẽ hiểu bài và làm rất tốt các dạng bài tập tương tự trong các bài kiểm tra sắp tới. Chúc em học tốt!