Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán thú vị về việc chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. Đây là dạng bài rất hay, giúp các em củng cố kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng biến đổi biểu thức đại số.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 5: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

\(A=(3x+2).(9x^2-6x+4)-3.(9x^3-2)\)

Lời giải chi tiết:

Để chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\), chúng ta cần biến đổi biểu thức A về một hằng số (một số cụ thể, không chứa biến \(x\)).

Chúng ta có biểu thức:

\(A=(3x+2).(9x^2-6x+4)-3.(9x^3-2)\)

Bước 1: Phân tích và nhận dạng các thành phần của biểu thức.

• Thành phần thứ nhất: \((3x+2).(9x^2-6x+4)\)
  Các em hãy nhớ lại hằng đẳng thức tổng của hai lập phương: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).
  Nếu chúng ta đặt \(a = 3x\) và \(b = 2\), thì:
  • \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\)
  • \(ab = (3x)(2) = 6x\)
  • \(b^2 = 2^2 = 4\)

  Như vậy, biểu thức \((3x+2).(9x^2-6x+4)\) chính là dạng khai triển của \((3x)^3 + 2^3\).

• Thành phần thứ hai: \(3.(9x^3-2)\)
  Đây là một phép nhân đơn giản, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân phân phối.

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức và thực hiện phép nhân.

Áp dụng hằng đẳng thức cho thành phần thứ nhất:

\((3x+2).(9x^2-6x+4) = (3x)^3 + 2^3\)
\(= 27x^3 + 8\)

Thực hiện phép nhân cho thành phần thứ hai:

\(3.(9x^3-2) = 3 \times 9x^3 – 3 \times 2\)
\(= 27x^3 – 6\)

Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức A và rút gọn.

Thay các kết quả vừa tính được vào biểu thức A ban đầu:

\(A = (27x^3 + 8) – (27x^3 – 6)\)

Bây giờ, chúng ta bỏ dấu ngoặc. Lưu ý dấu trừ đằng trước ngoặc thứ hai sẽ làm đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc:

\(A = 27x^3 + 8 – 27x^3 + 6\)

Tiếp theo, chúng ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

\(A = (27x^3 – 27x^3) + (8 + 6)\)

Thực hiện phép tính:

\(A = 0 + 14\)
\(\bf{A = 14}\)

Kết luận:

Vì giá trị của biểu thức A sau khi rút gọn là 14 (một hằng số), không chứa biến \(x\), nên giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Bài 6: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

\(B=(x+1)^3-(x-1).(x^2+x+1)-3x.(x+1)\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như Bài 5, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức B về một hằng số.

Chúng ta có biểu thức:

\(B=(x+1)^3-(x-1).(x^2+x+1)-3x.(x+1)\)

Bước 1: Phân tích và nhận dạng các thành phần của biểu thức.

• Thành phần thứ nhất: \((x+1)^3\)
  Đây là hằng đẳng thức lập phương của một tổng: \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
  Với \(a = x\) và \(b = 1\).
• Thành phần thứ hai: \((x-1).(x^2+x+1)\)
  Đây là hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương: \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).
  Với \(a = x\) và \(b = 1\).
• Thành phần thứ ba: \(3x.(x+1)\)
  Đây là một phép nhân đơn giản, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân phân phối.

Bước 2: Áp dụng các hằng đẳng thức và thực hiện phép nhân.

Khai triển \((x+1)^3\):

\((x+1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3\)
\(= x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)

Khai triển \((x-1).(x^2+x+1)\):

\((x-1).(x^2+x+1) = x^3 – 1^3\)
\(= x^3 – 1\)

Thực hiện phép nhân \(3x.(x+1)\):

\(3x.(x+1) = 3x \times x + 3x \times 1\)
\(= 3x^2 + 3x\)

Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức B và rút gọn.

Thay các kết quả vừa tính được vào biểu thức B ban đầu:

\(B = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 – 1) – (3x^2 + 3x)\)

Bây giờ, chúng ta bỏ dấu ngoặc. Cần đặc biệt cẩn thận với dấu trừ đằng trước ngoặc thứ hai và thứ ba:

\(B = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 + 1 – 3x^2 – 3x\)

Tiếp theo, chúng ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

\(B = (x^3 – x^3) + (3x^2 – 3x^2) + (3x – 3x) + (1 + 1)\)

Thực hiện phép tính:

\(B = 0 + 0 + 0 + 2\)
\(\bf{B = 2}\)

Kết luận:

Vì giá trị của biểu thức B sau khi rút gọn là 2 (một hằng số), không chứa biến \(x\), nên giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Hy vọng qua hai bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn phương pháp giải các bài toán chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến. Hãy luôn nhớ các hằng đẳng thức và cẩn thận trong từng bước biến đổi nhé!