Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán ứng dụng rất thú vị liên quan đến đạo hàm, đó là xác định thời điểm tốc độ bán hàng đạt lớn nhất cho một sản phẩm mới. Đây là một dạng toán thực tế giúp chúng ta hiểu rõ hơn về ý nghĩa của đạo hàm trong các mô hình kinh tế.

Đề bài: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của 1 sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật Logistic được mô hình hoá bằng hàm số \(f(t)=\frac{5000}{1+5e^{-t}}\), \(t\geq0\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \(f'(t)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Chúng ta cùng đi vào phân tích và giải bài toán này nhé!

Phân tích bài toán:

• Hàm số \(f(t)\) mô tả doanh số theo thời gian \(t\).
• Đạo hàm \(f'(t)\) biểu thị tốc độ bán hàng.
• Chúng ta cần tìm thời điểm \(t\) mà tại đó tốc độ bán hàng \(f'(t)\) đạt giá trị lớn nhất (cực đại).
• Để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số (ở đây là \(f'(t)\)), chúng ta cần lấy đạo hàm của hàm đó (tức là đạo hàm bậc hai \(f”(t)\)), sau đó giải phương trình đạo hàm bằng 0 và kiểm tra điều kiện.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \(f'(t)\) – Tốc độ bán hàng.

Hàm doanh số là \(f(t) = \frac{5000}{1+5e^{-t}}\). Để tính đạo hàm \(f'(t)\), chúng ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của thương \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\) hoặc viết lại hàm số dưới dạng \(f(t) = 5000(1+5e^{-t})^{-1}\) và dùng quy tắc chuỗi.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:

Đặt \(u = 5000 \implies u’ = 0\)

Đặt \(v = 1+5e^{-t} \implies v’ = 0 + 5 \cdot e^{-t} \cdot (-1) = -5e^{-t}\)

Vậy, \(f'(t) = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{0 \cdot (1+5e^{-t}) – 5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1+5e^{-t})^2}\)

\(f'(t) = \frac{25000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\)

Đây chính là hàm biểu thị tốc độ bán hàng. Chúng ta cần tìm \(t\) để \(f'(t)\) đạt giá trị lớn nhất.

Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai \(f”(t)\) – Đạo hàm của tốc độ bán hàng.

Để tìm giá trị lớn nhất của \(f'(t)\), chúng ta cần tính đạo hàm của nó, tức là \(f”(t)\), và giải phương trình \(f”(t) = 0\).

Ta có \(f'(t) = \frac{25000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\). Lại tiếp tục áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:

Đặt \(U = 25000e^{-t} \implies U’ = 25000 \cdot e^{-t} \cdot (-1) = -25000e^{-t}\)

Đặt \(V = (1+5e^{-t})^2\)

Để tính \(V’\), ta dùng quy tắc chuỗi: \(V’ = 2(1+5e^{-t}) \cdot (5e^{-t} \cdot (-1)) = -10e^{-t}(1+5e^{-t})\)

Vậy, \(f”(t) = \frac{U’V – UV’}{V^2}\)

\(f”(t) = \frac{(-25000e^{-t})(1+5e^{-t})^2 – (25000e^{-t})(-10e^{-t})(1+5e^{-t})}{((1+5e^{-t})^2)^2}\)

\(f”(t) = \frac{-25000e^{-t}(1+5e^{-t})^2 + 250000e^{-2t}(1+5e^{-t})}{(1+5e^{-t})^4}\)

Để đơn giản hóa, ta rút gọn \(25000e^{-t}(1+5e^{-t})\) ra khỏi tử số:

\(f”(t) = \frac{25000e^{-t}(1+5e^{-t}) [-(1+5e^{-t}) + 10e^{-t}]}{(1+5e^{-t})^4}\)

\(f”(t) = \frac{25000e^{-t} [-1 – 5e^{-t} + 10e^{-t}]}{(1+5e^{-t})^3}\)

\(f”(t) = \frac{25000e^{-t} (5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^3}\)

Bước 3: Tìm điểm cực trị của \(f'(t)\) bằng cách giải phương trình \(f”(t) = 0\).

Để \(f”(t) = 0\), ta có:

\(\frac{25000e^{-t} (5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^3} = 0\)

Vì \(e^{-t} > 0\) và \((1+5e^{-t})^3 > 0\) với mọi \(t \ge 0\), nên tử số phải bằng 0:

\(25000e^{-t} (5e^{-t}-1) = 0\)

\(\implies 5e^{-t}-1 = 0\) (vì \(25000e^{-t} \ne 0\))

\(5e^{-t} = 1\)

\(e^{-t} = \frac{1}{5}\)

Lấy logarit tự nhiên cả hai vế:

\(-t = \ln\left(\frac{1}{5}\right)\)

\(-t = -\ln(5)\)

\(t = \ln(5)\)

Giá trị \(t = \ln(5)\) là điểm cực trị tiềm năng của \(f'(t)\).

Bước 4: Kiểm tra điều kiện cực đại.

Chúng ta cần xác định xem tại \(t = \ln(5)\), tốc độ bán hàng có đạt giá trị lớn nhất hay không bằng cách xét dấu của \(f”(t)\) xung quanh giá trị này.

Ta có \(f”(t) = \frac{25000e^{-t} (5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^3}\). Mẫu số và \(25000e^{-t}\) luôn dương với \(t \ge 0\). Do đó, dấu của \(f”(t)\) phụ thuộc vào dấu của biểu thức \((5e^{-t}-1)\).

• Nếu \(t < \ln(5)\):
  Ví dụ, chọn \(t=0\). Khi đó \(e^{-t} = e^0 = 1\).
  
  \(5e^{-t}-1 = 5(1)-1 = 4 > 0\).
  
  Vậy \(f”(t) > 0\) khi \(t < \ln(5)\), điều này có nghĩa là \(f'(t)\) đang tăng.
• Nếu \(t > \ln(5)\):
  
  Ví dụ, chọn \(t=\ln(10)\). Khi đó \(e^{-t} = e^{-\ln(10)} = \frac{1}{10}\).
  
  \(5e^{-t}-1 = 5\left(\frac{1}{10}\right)-1 = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2} < 0\).
  Vậy \(f”(t) < 0\) khi \(t > \ln(5)\), điều này có nghĩa là \(f'(t)\) đang giảm.

Vì \(f'(t)\) tăng trước \(t=\ln(5)\) và giảm sau \(t=\ln(5)\), nên \(f'(t)\) đạt giá trị cực đại tại \(t=\ln(5)\).

Kết luận:

Vậy, sau khi phát hành \(t = \ln(5)\) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Để có một con số cụ thể, ta có thể tính giá trị xấp xỉ của \(\ln(5)\):

\(\ln(5) \approx 1.609\) năm.

Điều này có nghĩa là, tốc độ bán hàng của sản phẩm sẽ tăng nhanh nhất trong khoảng 1.6 năm đầu tiên, sau đó tốc độ tăng sẽ chậm lại, mặc dù doanh số tổng thể vẫn có thể tiếp tục tăng nhưng với tốc độ ngày càng giảm.

Hi vọng các em đã nắm rõ cách giải bài toán này. Đạo hàm và các ứng dụng của nó rất quan trọng trong việc phân tích các mô hình thực tế!

Chúc các em học tốt!