Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về hình chữ nhật. Bài toán này đòi hỏi chúng ta áp dụng kiến thức về chu vi, diện tích hình chữ nhật và kỹ năng giải hệ phương trình.

Chúng ta cùng đọc đề bài:

Bài 5. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 100m. Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích của hình chữ nhật không đổi. Tính diện tích lúc đầu của hình chữ nhật.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này một cách chi tiết nhé.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng cần tìm.

Trước hết, chúng ta cần đặt các biến cho các kích thước của hình chữ nhật ban đầu.
Gọi chiều dài của hình chữ nhật lúc đầu là l (mét).
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu là w (mét).

Theo đề bài, chúng ta cần tính diện tích lúc đầu của hình chữ nhật. Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
Diện tích lúc đầu = \(l \times w\) (mét vuông).

Bước 2: Biểu diễn các thông tin của đề bài thành các phương trình toán học.

Đề bài cho chúng ta hai thông tin quan trọng:

* Thông tin 1: Chu vi của hình chữ nhật lúc đầu bằng 100m.
Ta biết công thức tính chu vi hình chữ nhật là: Chu vi = \(2 \times (chiều dài + chiều rộng)\).
Vậy, ta có phương trình đầu tiên:
\(2 \times (l + w) = 100\)
Chúng ta có thể rút gọn phương trình này:
\(l + w = \frac{100}{2}\)
(1) \(l + w = 50\)

* Thông tin 2: Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích của hình chữ nhật không đổi.
Sau khi thay đổi kích thước:
Chiều dài mới = \(l – 10\) (mét)
Chiều rộng mới = \(w + 10\) (mét)

Diện tích lúc đầu = \(l \times w\)
Diện tích lúc sau = \((l – 10) \times (w + 10)\)

Theo đề bài, diện tích không đổi, nên ta có phương trình thứ hai:
\(l \times w = (l – 10) \times (w + 10)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn phương trình này:
\(l \times w = l \times w + l \times 10 – 10 \times w – 10 \times 10\)
\(l \times w = l \times w + 10l – 10w – 100\)

Trừ \(l \times w\) ở cả hai vế:
\(0 = 10l – 10w – 100\)

Chuyển các số hạng sang một vế để dễ nhìn hơn:
\(10l – 10w = 100\)

Chia cả hai vế cho 10:
(2) \(l – w = 10\)

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm giá trị của ẩn.

Chúng ta đã có một hệ hai phương trình với hai ẩn số:
(1) \(l + w = 50\)
(2) \(l – w = 10\)

Đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế. Ở đây, chúng ta sẽ dùng phương pháp cộng đại số vì rất tiện lợi.

Cộng phương trình (1) và phương trình (2):
\( (l + w) + (l – w) = 50 + 10 \)
\( l + w + l – w = 60 \)
\( 2l = 60 \)
\( l = \frac{60}{2} \)
\(l = 30\) (mét)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của l vừa tìm được vào phương trình (1) (hoặc phương trình (2)) để tìm w. Chúng ta sẽ thay vào phương trình (1):
\(l + w = 50\)
\(30 + w = 50\)
\(w = 50 – 30\)
\(w = 20\) (mét)

Vậy, chiều dài lúc đầu của hình chữ nhật là 30m và chiều rộng lúc đầu là 20m.

Bước 4: Tính diện tích lúc đầu của hình chữ nhật.

Chúng ta đã tìm được chiều dài và chiều rộng lúc đầu. Bây giờ, chúng ta sẽ tính diện tích lúc đầu theo công thức đã nêu ở Bước 1:
Diện tích lúc đầu = \(l \times w\)
Diện tích lúc đầu = \(30 \times 20\)
Diện tích lúc đầu = 600 (mét vuông)

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả (tùy chọn nhưng nên làm để đảm bảo tính chính xác).

* Kiểm tra chu vi ban đầu: Chu vi = \(2 \times (30 + 20) = 2 \times 50 = 100\)m. (Đúng với đề bài)

* Kiểm tra diện tích không đổi sau khi thay đổi kích thước:
Chiều dài mới = \(l – 10 = 30 – 10 = 20\)m
Chiều rộng mới = \(w + 10 = 20 + 10 = 30\)m
Diện tích mới = \(20 \times 30 = 600\) mét vuông.
Diện tích lúc đầu là 600 mét vuông. Diện tích mới cũng là 600 mét vuông. (Diện tích không đổi, đúng với đề bài)

Vậy, kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là 600 mét vuông.

Các em thấy không, bài toán này không quá khó nếu chúng ta biết cách phân tích đề bài và lập các phương trình tương ứng. Hãy nhớ luôn đọc kỹ đề bài và xác định rõ những gì đề bài yêu cầu nhé!

Chúc các em học tốt!