Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết Bài 5 về tính giá trị của biểu thức. Đây là một dạng bài rất quan trọng giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và thay thế giá trị. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) Biết \( \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \). Tính \( P = \frac{3x + 10y}{9x + 2y} \)

Lời giải:

Chúng ta có biểu thức cần tính là \( P = \frac{3x + 10y}{9x + 2y} \).

Đề bài cho biết tỉ số \( \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \). Từ tỉ số này, chúng ta cần tìm ra mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \) để thay thế vào biểu thức P.

Từ \( \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \), chúng ta có thể nhân chéo để tìm mối liên hệ:

\( 3 \times x = 1 \times y \)

\( 3x = y \)

Vậy, chúng ta có \( y = 3x \).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \( y = 3x \) vào biểu thức P:

\( P = \frac{3x + 10y}{9x + 2y} \)

Thay \( y = 3x \) vào tử số và mẫu số của P, ta được:

\( P = \frac{3x + 10(3x)}{9x + 2(3x)} \)

Tiếp theo, chúng ta thực hiện các phép nhân trong ngoặc:

\( P = \frac{3x + 30x}{9x + 6x} \)

Bây giờ, chúng ta cộng các hạng tử đồng dạng ở tử số và mẫu số:

\( P = \frac{(3 + 30)x}{(9 + 6)x} \)

\( P = \frac{33x}{15x} \)

Để đơn giản biểu thức này, chúng ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho \( x \). (Lưu ý: Vì \( \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \), nên \( x \) và \( y \) phải khác 0.)

\( P = \frac{33}{15} \)

Cuối cùng, chúng ta rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng, là 3:

\( P = \frac{33 \div 3}{15 \div 3} \)

\( P = \frac{11}{5} \)

Vậy, giá trị của biểu thức P là \( \frac{11}{5} \).

b) Biết \( x – y = 3 \). Tính \( Q = \frac{4x – 3}{3x + y} – \frac{4y + 3}{3y + x} \)

Lời giải:

Chúng ta có biểu thức cần tính là \( Q = \frac{4x – 3}{3x + y} – \frac{4y + 3}{3y + x} \).

Đề bài cho biết mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \) là \( x – y = 3 \). Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \) (hoặc \( y \) theo \( x \)).

Từ \( x – y = 3 \), chúng ta chuyển \( -y \) sang vế phải, ta được:

\( x = y + 3 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \( x = y + 3 \) vào từng phân thức của biểu thức Q để đơn giản chúng.

Xét phân thức thứ nhất: \( \frac{4x – 3}{3x + y} \)

Thay \( x = y + 3 \) vào cả tử số và mẫu số của phân thức này:

\( \frac{4(y + 3) – 3}{3(y + 3) + y} \)

Tiến hành nhân phân phối và cộng trừ các số hạng:

\( = \frac{4y + 12 – 3}{3y + 9 + y} \)

\( = \frac{4y + 9}{4y + 9} \)

Vì tử số và mẫu số giống nhau (và giả sử mẫu số khác 0 để phân thức xác định), nên giá trị của phân thức này là 1.

Vậy, \( \frac{4x – 3}{3x + y} = 1 \).

Xét phân thức thứ hai: \( \frac{4y + 3}{3y + x} \)

Thay \( x = y + 3 \) vào mẫu số của phân thức này (tử số đã có sẵn y):

\( \frac{4y + 3}{3y + (y + 3)} \)

Tiến hành cộng các số hạng trong mẫu số:

\( = \frac{4y + 3}{3y + y + 3} \)

\( = \frac{4y + 3}{4y + 3} \)

Tương tự như phân thức thứ nhất, vì tử số và mẫu số giống nhau (và giả sử mẫu số khác 0 để phân thức xác định), nên giá trị của phân thức này là 1.

Vậy, \( \frac{4y + 3}{3y + x} = 1 \).

Tính giá trị của Q:

Bây giờ chúng ta thay các giá trị vừa tìm được của hai phân thức vào biểu thức Q ban đầu:

\( Q = 1 – 1 \)

\( Q = 0 \)

Vậy, giá trị của biểu thức Q là 0.

Các em thấy đấy, với những bài toán như thế này, việc tìm mối quan hệ giữa các biến và thay thế hợp lý sẽ giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức và giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!