Bài 5: Tính giá trị của tổng \(S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{100}\)

Các em nhìn vào tổng \(S\) này có gì đặc biệt không nào? Đây là một dạng tổng đặc biệt, chúng ta sẽ dùng một mẹo nhỏ để tính nó.

Ta có:
\(S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{100}\)

Nhân cả hai vế của \(S\) với 2, ta được:
\(2S = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{100})\)
\(2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{101}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy \(2S\) trừ đi \(S\):
\(2S – S = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{101}) – (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{100})\)

Chúng ta thấy rằng, khi trừ đi, các số hạng giống nhau sẽ bị triệt tiêu:
\(S = 2^{101} – 1\)

Vậy, giá trị của tổng \(S\) là \(2^{101} – 1\). Đây là một con số rất lớn, nhưng chúng ta đã tìm ra cách biểu diễn nó một cách gọn gàng rồi đó!

—

Bài 6: Cho biểu thức \(A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{60}\). Chứng minh rằng \(A\) chia hết cho \(13\).

Để chứng minh \(A\) chia hết cho 13, chúng ta sẽ nhóm các số hạng lại với nhau sao cho xuất hiện thừa số 13.

Ta có:
\(A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{60}\)

Hãy thử nhóm 3 số hạng liên tiếp vào một nhóm. Chúng ta có bao nhiêu nhóm đây? Số mũ cao nhất là 60, nên ta có 60 số hạng. Nếu nhóm 3 số hạng vào một nhóm, ta sẽ có \(60 \div 3 = 20\) nhóm.

Ta nhóm như sau:
\(A = (3 + 3^2 + 3^3) + (3^4 + 3^5 + 3^6) + … + (3^{58} + 3^{59} + 3^{60})\)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút thừa số chung ra khỏi mỗi nhóm:
Nhóm thứ nhất: \(3 + 3^2 + 3^3 = 3(1 + 3 + 3^2) = 3(1 + 3 + 9) = 3(13)\)

Nhóm thứ hai: \(3^4 + 3^5 + 3^6 = 3^4(1 + 3 + 3^2) = 3^4(1 + 3 + 9) = 3^4(13)\)

Cứ tiếp tục như vậy, nhóm thứ \(k\) sẽ có dạng \(3^{3(k-1)+1} + 3^{3(k-1)+2} + 3^{3(k-1)+3}\) và sau khi rút thừa số chung, ta sẽ có \(3^{3(k-1)+1}(1 + 3 + 3^2) = 3^{3(k-1)+1}(13)\).

Vì vậy, biểu thức \(A\) có thể viết lại là:
\(A = 3(13) + 3^4(13) + … + 3^{58}(13)\)

Bây giờ, chúng ta có thể rút thừa số chung là 13 ra ngoài:
\(A = 13(3 + 3^4 + … + 3^{58})\)

Vì \(A\) được viết dưới dạng \(13\) nhân với một tổng khác (mà tổng này chắc chắn là một số nguyên vì nó bao gồm các lũy thừa của 3 cộng lại), điều này chứng tỏ rằng \(A\) chia hết cho \(13\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \(A\) chia hết cho \(13\).

Các em thấy hai bài toán này có thú vị không nào? Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải và có thể áp dụng cho các bài toán tương tự nhé!