Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay liên quan đến năng suất làm việc. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Một đội công nhân xây dựng hoàn thành một công trình hết 600 ngày công thợ. Tính số người của một đội biết nếu thêm 5 người thì số ngày hoàn thành giảm 10 ngày.

—

Hướng dẫn giải chi tiết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi theo các bước quen thuộc: gọi ẩn, biểu diễn các đại lượng, lập phương trình và giải phương trình.

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Gọi số người ban đầu của đội công nhân là \(x\) (người).
Điều kiện: Số người phải là số nguyên dương, tức là \(x \in \mathbb{N}^*\).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn

Chúng ta biết rằng “ngày công thợ” chính là tổng số công việc, được tính bằng công thức:

\(\text{Tổng ngày công thợ} = \text{Số người} \times \text{Số ngày hoàn thành}\)

Theo đề bài, tổng ngày công thợ là 600 ngày công.

• Số ngày đội công nhân hoàn thành công trình lúc đầu là: \(\frac{600}{x}\) (ngày).
• Nếu thêm 5 người vào đội, thì số người của đội lúc này là: \(x + 5\) (người).
• Khi đó, số ngày hoàn thành công trình sẽ giảm đi 10 ngày. Vậy số ngày hoàn thành công trình sau khi thêm người là: \(\frac{600}{x} – 10\) (ngày).

Bước 3: Lập phương trình

Khi đội có \(x + 5\) người và hoàn thành công trình trong \(\frac{600}{x} – 10\) ngày, thì tổng số ngày công thợ vẫn là 600 (vì vẫn là cùng một công trình).
Từ đó, ta có phương trình:

\((x + 5) \left( \frac{600}{x} – 10 \right) = 600\)

Bước 4: Giải phương trình

Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành giải phương trình vừa lập được:

\((x + 5) \left( \frac{600}{x} – 10 \right) = 600\)

Thực hiện phép nhân phân phối:

\(x \cdot \frac{600}{x} – x \cdot 10 + 5 \cdot \frac{600}{x} – 5 \cdot 10 = 600\)

\(600 – 10x + \frac{3000}{x} – 50 = 600\)

Gom các số hạng lại:

\(550 – 10x + \frac{3000}{x} = 600\)

Chuyển 550 sang vế phải:

\(-10x + \frac{3000}{x} = 600 – 550\)

\(-10x + \frac{3000}{x} = 50\)

Để khử mẫu số \(x\), chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với \(x\) (nhớ rằng \(x \neq 0\) vì \(x\) là số người):

\(-10x \cdot x + \frac{3000}{x} \cdot x = 50 \cdot x\)

\(-10x^2 + 3000 = 50x\)

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(10x^2 + 50x – 3000 = 0\)

Để đơn giản phương trình, chúng ta chia cả hai vế cho 10:

\(x^2 + 5x – 300 = 0\)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Cách 1: Phân tích thành nhân tử

Ta tìm hai số có tích bằng -300 và tổng bằng 5. Hai số đó là 20 và -15.

\(x^2 + 20x – 15x – 300 = 0\)

\(x(x + 20) – 15(x + 20) = 0\)

\((x + 20)(x – 15) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

\(x + 20 = 0 \implies x = -20\)

hoặc

\(x – 15 = 0 \implies x = 15\)

Cách 2: Dùng công thức nghiệm

Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a=1, b=5, c=-300\).

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-300)\)

\(\Delta = 25 + 1200 = 1225\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{1225} = 35\)

Nghiệm của phương trình là:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 – 35}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20\)

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận

Ta có hai giá trị của \(x\) là \(15\) và \(-20\).

Vì \(x\) là số người trong đội, nên \(x\) phải là một số nguyên dương. Do đó:

• Giá trị \(x = -20\) (loại, vì số người không thể là số âm).
• Giá trị \(x = 15\) (thỏa mãn điều kiện \(x \in \mathbb{N}^*\)).

Vậy, số người ban đầu của đội công nhân là 15 người.

Kiểm tra lại (không bắt buộc nhưng nên làm):

Nếu đội có 15 người, số ngày hoàn thành là \(\frac{600}{15} = 40\) ngày.
Nếu thêm 5 người, đội có \(15+5 = 20\) người. Số ngày hoàn thành là \(\frac{600}{20} = 30\) ngày.
Số ngày hoàn thành giảm đi là \(40 – 30 = 10\) ngày, đúng như đề bài đã cho.

—

Kết luận:

Vậy, số người của đội công nhân đó là 15 người.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé!